eine quadratische funktion hat als graphen eine nach oben geöffnete verschobene normalparabel.Bestimme jeweils die Glecihung der funktion wenn die folgenden?
eigenschaften bekannst sind
a) der scheitelpunkt der parabel hat die koordinaten s(-2;5) b) an der stelle x=2 tritt der kleinste funktionswert mit y=-1 auf c)Die symetrieachse der Parabel verläuft parallel zur y achse durch x=-3.Sie hat genau eine nullstelle d)Für x<1 ist die Funktion monoton falled für x>1 monoton steigend und der scheitelpunkt gar due y koordinatee y=2 e)Nullstellen sind x1 = 4 unx x2 = -4
Wäre nett mit lösung und lösungs weg bei allen
5 Antworten
allgemeine Form y=f(x)=a2*x^2+a1*x+ao
Normalform f(x)=0 = x^2+p*x+q mit a2=1
a2=Streckungsfaktor (Formfaktor=
a2>0 Parabel nach oben offen,Minimum vorhanden
a2<0 " " unten offen Maximum vorhanden
Scheitelpunktform y=f(x)=a2 *(x-xs)^2 + ys
xs und ys sind die Scheitelkoordinaten
Scheitelkoordinaten bei xs=- (a1)/(2*a2) und ys=-(a1)^2/(4*a2)+ao
a. xs=-2 und ys=5 ergibt f(x)=1 * (x+2)^2 + 5
b. xs=2 und ys= - 1 ergibt f(x)=1*(x-2)^2 - 1
c.xs=-3 und ys=0 ergibt f(x)=(x+3)^2 + 0
d. xs=1 und ys= 2 ergibt f(x)=(x-2)^2+ 2
e. Bildungsgesetz sie f(x)= (x-x1)*(x-x2) * a hier ist a=1
x1 und x2 sind die "reellen Nullstellen" ,Parabel kann auch nur 2 konjugiert komplexe Lösungen haben (keine reellen Nullstellen),siehe mathe-Formelbuch"Lösbarkeitsregeln".
f(x)=(x1 - 4) *(x-(-4) *1 =x^2-4*x+4*x-16=x^2-16
Probe : f(x)=0=x^2 - 16 ergibt x1,2=+/-Wurzel(16) ergibt x1=4 und x2=-4
Hinweis : f(x)=a2 *(x-xs)^2+ys
xs=positiv Graph wird nach rechts verschoben f(x)=a *(x-xs)^2+ys
xs=negativ " wird nach links verschoben f(x)=a *(x - (-xs))^2 + ys
ys>0 Graph wird nach oben verschoben
ys<0 " " unten verschoben
prüfe auf Rechen- u. Tippfehler
a) Scheitelpunkt S = (x_s, y_s) => f(x) = (x - x_s)^2 + y_s (Funktionsgleichung in Scheitelpunktsform)
b) Was bedeutet der Scheitelpunkt für den Graphen? Dann weiter wie a)
c) Was bedeutet der Scheitelpunkt für die Symmetrie? Was bedeutet "genau eine Nullstelle" für den Graphen? Was bedeutet der Scheitelpunkt in diesem Fall für den Graphen, bzw. welchen besonderen Funktionswert stellt die y-Koordinate des Scheitelpunkts dar?
d) Was hat der Scheitelpunkt mit den Monotoniebereichen zu tun?
e) In der Aufgabenstellung ist nicht ausdrücklich nach einer bestimmten Form der Funktionsgleichung gefragt. Hier ist es einfacher, die faktorisierte Form des Funktionsterms zu nehmen - den kann man sofort hinschreiben. (Hinweis: Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist)
Schreib dir mal die allgemeine Form einer Parabel in Scheitelpunktform hin.
Da nicht gestreckt wird oder so, hat das sie Form
f(x)=(x-d)^2+e
(d|e) ist dann der Scheitelpunkt wenn ich mich betreffend der Vorzeichen n9icht irre (Gucks besser noch einmal nach).
zu
a) Einfach d und e eintragen und du hast die lösung
b)Was ist denn der "tiefste" Punkt, an dem der kleinste Funktionswert auftritt?
bei einer nach oben offenen Parabel?
(Mach dir im Zweifelsfall eine Skizze, dann ist es offensichtlich)
c)Hm, was haben Scheitelpunkt und die Symmetrieachse einer Parabel gemeinsam?
(Skizze wie immer)
d)Hm, das ist tatsächlich mal etwas schwieriger.
Wie immer Skizze machen :-D
Guck doch einfah mal in deiner Skizze wo die Parabel monoton fallend ist, also der Graph nach unten geht und wo nach oben.
und wie immer, was der Scheitelpunkt mit dem Ganzen zu tun hat.
Das könnte dir doch glatt ein paar Hinweise bezüglich des x Wertes des SP geben.
y-Wert des SP kennst du ja schon, steht ja.
e) 2 mal die Gleichung mit den gegeben x|y Paar hinschreiben
Die Voraussetzungen hier sind 0=f(4) und 0=f(-4) .
Ergibt 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten (d und e)
Das musst du einfach nach e und d auflösen., hier gibt es keinen wirklichen Trick.
Lediglich schlichtes LGS lösen
(d|e) ist dann der Scheitelpunkt wenn ich mich betreffend der Vorzeichen n9icht irre (Gucks besser noch einmal nach).
Scheitelpunkt ->Klammer muss null werden! -> d - d = 0
e) 2 mal die Gleichung mit den gegeben x|y Paar hinschreiben
Die Voraussetzungen hier sind 0=f(4) und 0=f(-4) .
Ergibt 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten (d und e)
Das musst du einfach nach e und d auflösen., hier gibt es keinen wirklichen Trick.
Ein Produkt ist dann gleich null, wenn einer der Faktoren 0 ist:
f(x) = (x-4)·(x+4)
Aber ein bisschen denken möchtest du doch auch noch selbst?
Die 5. Aufgabe kann man natürlich nur schwer mit Scheitelpunkt berechnen. Aus den Nullstellen, die gleich weit von der y-Achse entfernt liegen, kann man die Linearfaktoren ermitteln, die als Produkt die normierte Gleichung ergeben:
f(x) = (x - 4) (x + 4).
Das Besondere hieran ist:
jeder beliebige Faktor vor den Klammern erzeugt auch eine quadratische Parabel, sodass es unendlich viele Parabeln mit diesen Nullstellen gibt, auch für negative Faktoren.
Man muss nur die Scheitelpunktform und deren Bedeutung erkennen, dann ergibt sich alles von selbst...