Ein rechteckiges Grundstück soll den Flächeninhalt400m^2 erhalten. Wie land sind die Seiten des Rechtecks zu wählen, damit der Umfang des Rechtecks minimalWird?
Ich habe diese Frage als HA. Mein Problem ist das wir im Themenbereich AnaIysis sind und ich nicht weiß wie ich passend zu dem Thema die Lösung errechnen soll. Würde mich über Hilfe sehr freuen!
3 Antworten
Vorgangsweise:
Ein Rechteck hat Länge und Breite (a und b)
Über die Fläche drückst du die eine Variable durch die andere aus und setz das in die Forlmel für den Umfang ein.
Du hast nun eine Formel für den Umfang, in der nur eine der Variablen (a oder b) vorkommt.
Diese leitest du ab und bestimmst die Nullstelle(n).
Du überprüfst, welche der Nullstellen ein Mimimum ist.
Du überprüfst, ob einer der beiden Randpunkte das Minumum ist
Mit der über die Nullstelle bestimmte Variable bestimmst du nun die andere Variable.
Wenn du alles richtig gemacht hast, sollte jetzt a=b sein, d.h. das Rechteck sollte ein Quadrat sein.
Flächeninhaltsmaximierung oder Umfangsminimierung ist immer ein Quadrat.
Ergo: 20m x 20m --> 80 m Umfang
Mach daraus ein Quadrat, es ist schließlich auch ein Rechteck.
Dann beträgt die Seitenlänge je 20 m; das macht 4 x 20 m, also 80 m im Umfang.
Machst Du das Grundstück z. B. 400 m lang und 1 m breit, hast Du auch 400 qm, aber 802 m Umfang, also das Zehnfache.
Ob das jetzt der geforderten Lösung entspricht, weiß ich nicht, aber praktisch wäre die quadratische Lösung sinnvoll, genauso wie bei einem Haus, weil dann die Wärmeabstrahlfläche bei gegebener Höhe ja auch viel geringer ist als bei einem Rechteck.
Und auch die Kosten für die Straßenreinigung (Grundstückslänge der Straßenseite) spielt u. U. eine Rolle.
Es ist immer ein Quadrat. :) Umgekehrt kommst mit gegebenem Umfang so auch auf einen großen Inhalt.
