Differentiarechnung/Steckbriefaufgaben?
Halllloo;) , ich komme bei der Aufgabe nicht mehr weiter und schreibe diese Woche meine Klausur ! Ich bitte euch um Hilfe. ..
1.Sie geht auf jeden Fall durch (0/0)
2.hat sie einen Hochpunkt bei 0/4? UnD eine Tiefpunkt bei 3/0??
3 Antworten
zuerst ein x-y-Koordinatensystem zeichnen
Wir legen den Ursprung bei Pur(0/0)
aus der Zeichnung H(-2/1,5) und T(2/-1,5)
y=f(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x+ao mit f(0)=0 ergibt ao=0
abgeleitet
f´(x)=0=3*a3*x²+2*a2*x+a1
1) a3*(-2)³+a2*(-2)²+a1*(-2)=1,5 aus H(-2/1,5)
2) a3*2³+a2*2²+11*a1=-1,5 aus T(2/-1,5)
3) 3*a3*(-2)²+2*a2*(-2)+1*a1=0 aus Maximum H(-2/1,5)
dieses lineare Gleichungssystem (LGS) mit dne Unbekannten,a3,a2 und a1 und den 3 Gleichungen,schreiben wir nun um,wie es im Mathe-Formelbuch steht,wegen der Übersichtlichkeit
1) -8*a3+4*a2-2*a1=1,5
2) 8*a3+4*a2+2*a1=-1,5
3) 12*a3-4*a2+1*a1=0
Lösung mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) a3=0,09375 und a2=0 und a1=-1,125
gesuchte Funktion y=f(x)=0,09375*x³-1,125*x
Hinweis: Diese Funktion kann man nun noch nach oben oder unten verschieben
ergibt y=f(x)=0,09375*x³-1,1255*x+C
C>0 verschiebt nach oben
C<0 verschiebt nach unten
In der Zeichnung sieht man 2 Buckel (1 Maximum und 1 Minimum)
Es gilt:Anzahl der Extrema (Anzahlder Buckel) Extrema=n-1
wobei n der höchste Exponent der ganzrationalen Funktion ist
kubische Funktion y=f(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x+ao
höchster Exponent n=3
Maximale Anzahl Extrema somit 3-1=2
also muß es sich in der Zeichnung um eine ganzrationale Funktion 3. Grades handeln (kubische Funktion)
H(-2/1,5) und T(2/-1,5) liefern 3 Gleichungen
y=f(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x+ao hier haben wir 4 Unbekannte,a3,a2,a1 und ao
Wenn wir das x-y-koordinatensystem so legen,dass ao=0 ist,dann haben wir nur noch 3 Unbekannte,a3,a2 und a1
1) a3*(xH)³+a2*(xH)²+a1*(xH)=1,5
2) a3*(xT)³+a2*(xT)²+a1*(xT)=-1,5
3) f´(x)=0=..... hier kann man dann den Hochpunkt verwenden oder den Tiefpunkt
weil sie <<ohne Knick>> anschließen sollen , ist die Steigung dort Null , denn dann muß die Steigung so sein wie eine zur x-Achse parallele Gerade, nämlich Null. ( man muß nicht unbedingt von Extrema ausgehen )
Man hat also , wenn man (0/0) oben links annimmt
diesen Punkt
f(0) = 0
die Steigung in (0/0) = 0
also
f'(0) = 0
und den Punkt (4/-3)
f(4) = -3
f'(4) = 0
und , weil offentsichtlich ein Wendepunkt vorliegt (mindestens ) ein Fkt dritten grades
y = ax3+bx2+cx+d
Dafür reichen die vier Bedingungen.
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f(0) = 3 ; f(4) = 3 ; f'(0) = 0 ; f'(4) = 0
Mit diesen Angaben sollte es möglich sein, die Parameter der Funktion zu bestimmen. d und c sind leicht zu ermitteln, sodass 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten für a und b übrig bleiben.
(zum Vergleich: f(x) = (3/32) * x³ - (9/16) * x² + 3)
Warum 3 Grades wenn ich nur 3 Punkte kenne? Genauer gesagt sind es dann nicht 5 Informationen? Weil H und T auch ein Punkt sind __> P1 (0/0); P2 (-2/1,5);P3 (2/-1,5); T (2/-1,5) und H(-2/1,5)