Definitionsmenge und Wertemenge-Klammern?
Hallo!
Wie ihr oben entnehmen könnt, tu ich mich bei Definitionsmenge und Wertemenge sehr schwer! Kann mir jemand nochmal erklären was das ist und evtl auch was die verschiedenen Klammern bedeuten bzw worin sie sich unterscheiden?
Als Beispiel bitte etwas "schwereres" wie eine e-Funktion oder lnx.
Also z.B. f(x)= Wurzel aus (1-lnx) -> Max. Def.menge ist hier ]0;e] -> Warum muss es hier e sein und nicht +Unendlich, und weshalb ist die Klammer bei 0 so ], obwohl D von lnx als x>0 definiert ist? Müsste es dann nicht andersrum sein?
2 Antworten
Die Definitionsmenge ist die Menge aller Zahlen, für die der Funktionswert definiert ist. Beispielsweise ist eine Funktion für einen bestimmten Wert undefiniert, bei dem eine Null im Nenner stehen würde, da die Division durch Null undefiniert ist. An dieser Funktionsstelle hat der Graph der Funktion eine Definitionslücke.
Die Wertemenge ist die Menge aller möglichen Funktionswerte einer Funktion. Die Betragsfunktion umfasst beispielsweise nur nichtnegative Zahlen.
Die eckigen Klammern kennzeichnen ein Intervall. Ein Intervall ist eine Kurzschreibweise für eine Teilmenge von Zahlen. Dabei kann ein Intervall abgeschlossen sein, d. h. die Intervallgrenzen zählen zu der Menge dazu:
[a, b] := {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}
Ein Intervall kann auch offen sein, d. h. die Intervallgrenzen zählen nicht zu der Menge dazu:
]a, b[ := {x ∈ ℝ | a < x < b}
Statt nach außen zeigenden eckigen Klammern schreibt man auch manchmal runde Klammern:
]a, b[ = (a, b)
Analog kann ein Intervall auch halboffen sein, d. h. nur eine Intervallgrenze zählt zu der Menge dazu:
[a, b[ := {x ∈ ℝ | a ≤ x < b}
]a, b] := {x ∈ ℝ | a < x ≤ b}
Jetzt zu deinem Beispiel:
Also z.B. f(x)= Wurzel aus (1-lnx) -> Max. Def.menge ist hier ]0;e] -> Warum muss es hier e sein und nicht +Unendlich, und weshalb ist die Klammer bei 0 so ], obwohl D von lnx als x>0 definiert ist? Müsste es dann nicht andersrum sein?
Die Funktion lautet:
f(x) = Wurzel(1 - ln(x))
Der natürliche Logarithmus ist nur für x > 0 definiert. Insoweit wird der Definitionsbereich hier also eingeschränkt. Außerdem ist die Wurzel nur für nichtnegative Werte definiert. Wann ist 1 - ln(x) = 0? Dann, wenn ln(x) = 1 ist, oder? Und das ist genau dann der Fall, wenn x = e ist. Wenn x größer als e wird, also ln(x) größer als 1, wird die Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen. Das darf nicht passieren, weshalb x nicht größer als e sein darf. Die Definitionsmenge lautet daher unter Berücksichtigung dieser beiden Einschränkungen:
]0, e]
Warum sind die Klammern so, wie sie sind? Die 0 ist nicht mehr drin, denn ln(0) ist nicht definiert. e ist dagegen noch in der Menge drin, denn mit
Wurzel(1 - ln(e))
= Wurzel(1 - 1)
= Wurzel(0)
= 0
bekommen wir keine Probleme.
Die Wertemenge ist übrigens:
{x ∈ ℝ | x ≥ 0}
Oder in der Intervallschreibweise:
[0, ∞[
Die Quadratwurzel einer reellen Zahl ist nämlich immer nichtnegativ.
Warum muss es hier e sein und nicht +Unendlich,
Weil für x> e der in > 1 und damit der Radikant negativ werden würde.
und weshalb ist die Klammer bei 0 so ],
Weil die Null nicht dazugehören darf, denn der ln von 0 ist nicht definiert.