de BROGLIE-Wellenlänge: Welche Wellenlänge besitzt das Elektron mit der kinetischen Energie E_kin = 54 eV?
Guten Abend liebe Physiker in der Community,
ich habe versucht, die Wellenlänge eines Elektrons mit der kinetischen Energie E_kin = 54 eV u bestimmen. Dazu sind mir drei verschiedene Ansätze eingefallen, die alle zu anderen Ergebnissen führen und die ich deshalb hier zur Diskussion stellen möchte:
Ich möchte gerne zu jedem Ansatz eine Begründung haben, warum genau dieses Ergebnis richtig bzw. falsch ist. Meine bisherigen Gedanken:
Ansatz 1: Macht durchaus Sinn, jedoch gilt diese Formel normalerweise für Photonen, die eine viel geringere Masse haben, und daher vermutlich eine höhere Frequenz brauchen, um die gleiche kinetische Energie wie ein Elektron mit niedrigerer Frequenz zu haben.
Ansatz 2: Ich sehe zwar keinen Fehler in der grundlegenden Überlegung, aber es ist ziemlich sinnfrei, dass die kinetische Energie nicht mit in die Rechnung einbezogen wird.
Ansatz 3: Macht meiner Meinung nach am meisten Sinn, da hier auch die Masse des Elektrons mit einbezogen wird.
Am liebsten wären mir wie gesagt antworten, die jeden Ansatz mit Erklärung als richtig bzw. falsch bezeichnen, also nicht nur "... ist richtig."
Vielen Dank, ein schönes Wochenende und Grüße
carbonpilot01
2 Antworten
In die Formel geht die Gesamtenergie des Elektrons ein, also E=E_0+E_kin ~ 511keV+54eV~511keV.
Deine Ansätze gehen entweder von E_0 oder von E_kin aus, nicht aber von deren Summe, deshalb sind sie konzeptionell leider alle falsch. Aber nachdem der Zahlenwert von E sehr nah an dem von E_0 ist (weil E_kin gegenüber E_0 vernachlässigbar ist), sollte der Zahlenwert von Ansatz 2 in guter Näherung richtig sein.
Edit: Nun merke ich aber, dass da noch mehr faul ist. Die deBroglie-Wellenlänge ist über den Impuls definiert via p=h/lambda. Für ein Elektron gilt E²=m²c^4+p²c²
Somit ist der Impuls gegeben durch p²=m²c²-E²/c².
Aber in nichtrelativistischer Näherung (was bei E_kin=54eV<<E_0=511keV gerechtfertigt ist) ist
E_kin = mv²/2 = p²/(2m)
und somit
h/lambda = p = sqrt(2mE_kin)
Daraus ist
lambda = h/p = h/sqrt(2mE_kin)
Das dürfte deinem Ansatz 3 entsprechen.
Bei einer kinetischen Energie von E_kin = 54 eV hat ein Elektron eine Geschwindigkeit v = 4358 kmh⁻¹. Das ist noch ziemlich weit weg von relativistischen Bedingungen (relat. Gamma = 1,000106). Man kann also in guter Näherung klassisch rechnen.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=54+eV+electron+clculate+speed
Für Quantenobjekte gilt für die Beziehung zwischen ihrer DB-Wellenlänge und ihrem Impuls allgemein:
λDB = h/p
Mit p = sqr(2 ·mₑ · K_kin) ergibt sich:
λDB = h/sqr(2 · mₑ · K_kin)
λDB = h/sqr(2 · 9,109 · 10−31kg · 54 eV)
λDB = 1,669 · 10⁻¹⁰ m = 167 pm