(Cosinus x)^4 integrieren?

Frage steht oben!

danke im Voraus 😊

Answer 1

[Quotenbanane]

Dazu nimmst du am Besten die Reduktionsformel aus der Trigonometrie.

$\cos\left(x\right)^2=\frac{1+\cos\left(2x\right)}{2}$

Siehe hier... Trigonometrische Zusammenhänge

Daher...

$\cos\left(x\right)^4=\left(\cos\left(x\right)^2\right)^2=\left(\frac{1+\cos\left(2x\right)}{2}\right)^2=\frac{1+2\cos\left(2x\right)+\cos\left(2x\right)^2}{4}$

$=\frac{1+2\cos\left(2x\right)+\frac{\left(1+\cos\left(4x\right)\right)}{2}}{4}=\frac{3+4\cos\left(2x\right)+\cos\left(4x\right)}{8}$

Das sollte integrierbar sein.

$\int\frac{3+4\cos\left(2x\right)+\cos\left(4x\right)}{8}dx\ =\ \int\ \frac{3}{8}dx+\int\ \frac{4\cos\left(2x\right)}{8}dx+\int\ \frac{\cos\left(4x\right)}{8}dx$

$=\frac{3}{8}x+\frac{4\sin\left(2x\right)}{16}+\frac{\sin\left(4x\right)}{32}=\frac{12x+8\sin\left(2x\right)+\sin\left(4x\right)}{32}$

Du musst halt wissen, wie man cos(2x) und cos(4x) integriert.

LG

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik-Studium

Comments

[KunXz]

Ich habe deine Antwort leider zu spät gesehen :D

[Quotenbanane]

@KunXz

Kein Stress :-)

Answer 2

[KunXz]

Es gilt:

$\left(\cos x\right)^2=\frac{1+\cos\left(2x\right)}{2}$

Damit ist: $\cos\left(x\right)^4\ =\left(\cos\left(x\right)^2\right)^{^2}\ =\ \left(\frac{1+\cos\left(2x\right)}{2}\right)^2\ =\ \frac{1}{4}\left(1+2\cos\left(2x\right)+\cos\left(2x\right)^2\right)\ =\ \frac{1}{4}\left(1+2\cos\left(2x\right)+\frac{1+\cos\left(4x\right)}{2}\right)$

Umgeschrieben ergibt das also:

$\cos\left(x\right)^4\ =\ \frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos\left(2x\right)+\frac{1}{8}\cos\left(4x\right)$

und das sollte machbar sein.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematikstudium

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[berndao2]

simpel aber einfach :-)

Answer 3

[berndao2]

ich würde da was mit cos^2=1-sin^2 versuchen
also
integral (cos^4)
=integral(cos^2*(1-sin^2))
=integral(cos^2)-integral(sin^2*cos^2)

vielleicht kann man von da aus was machen?

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[J0T4T4]

Meinst du, dass sin²x • cos²x deutlich gutartiger als cos⁴x ist?

[berndao2]

@J0T4T4

keine Ahnung. Dachte da an mögliche Substitution oder so

[ToFa12]

@berndao2

Welche Substitution?

[J0T4T4]

@ToFa12

Wenn du nicht Integration durch substitution beherrschst, dann solltest du erstmal die Finger von solchen Rechnungen lassen.

Wobei, vielleicht hast du ja auch schon mit partieller Integration Glück.

[berndao2]

@J0T4T4

partielle Ableitung klingt hier auch sehr vielversprechend!

[J0T4T4]

@berndao2

Bei sin² bzw. cos² kann man so ja drankommen, in dem man am Ende wieder das Ausgangsintegral bekommt und dann danach umformen kann