Brückenbogen berechnen?
d) Die Fahrbahn ist auf jeder Seite an zehn senkrechten Trägern am Brückenbogen befestigt. Die Aufhängepunkte der kürzesten Träger liegen jeweils 3 m von den Schnittpunkten der Fahrbahn mit dem Brückenbogen entfernt (siehe Skizze oben). Die Streben sind gleichweit voneinander entfernt. Berechne die Länge der längsten Strebe.
e) Die Oberkante des Brückenbogens verläuft im Abstand von 80 cm oberhalb der Unterkante. Bestimme den höchsten Punkt der Oberkante des Brückenbogens.
Stelle eine Funktionsgleichung auf, die den Verlauf der Oberkante beschreibt.
Erläutere, wie du vorgegangen bist.
Kann mir jemand erklären wie ich die zwei aufgaben machen soll? Ich bedanke mich schonmal im vorraus. :)
Was genau kannst du nicht? Oder erwartest du, dass man dir alles vorrechnet?
Nein, nicht vorrechnen, sondern mir lediglich erklären, wie ich bei den Aufgaben vorgehen soll.
2 Antworten
Hallo,
berechne zunächst einmal die Nullstellen, indem Du -0,015x ausklammerst und den Satz vom Nullprodukt verwendest. So bekommst Du die Spannweite der Brücke.
Davon ziehst Du 6 m ab, weil der erste und der letzte Pfeiler 3 m hinter bzw. vor den Nullstellen liegen, und teilst den Rest durch 9, denn zwischen 10 Pfeilern gibt es neun Zwischenräume. So bekommst Du den Abstand der Pfeiler.
Die Höhe der Brücke bekommst Du, wenn Du die erste Ableitung der Funktion gleich Null setzt und nach x auflöst. Der Funktionswert von diesem x ist dann die Höhe der Unterkante, zu dem Du noch 0,8 m addieren mußt.
Herzliche Grüße,
Willy
Ich glaube, da hast du besser mitgedacht als der Aufgabensteller, der wahrscheinlich nur f2(x) = f(x) + 0,8 meinte.
Aufstellen von Funktionen aus gegebenen Punkten stehen normalerweise etwas später auf dem Lehrplan. Und die meisten Schüler würden Lösungen mit so krummen Werten nicht als richtig akzeptieren.
Ist die Annahme, dass die erste Nullstelle bei -0,8 liegt richtig? Die Fahrbahn schneidet den Bogen ja nicht senkrecht sondern in einem Winkel, der dann korrekterweise auch noch berücksichtigt werden müsste.
Da hast Du recht. Man kann aber einen Punkt über die Trigonometrie berechnen.
f'(0) der Funktion der Unterkante ergibt den Tangens des Winkels der Tangente an die Nullstelle. Senkrechte dazu findet sich die Hypotenuse von 0,8 m. Dann lassen sich über Sinus und Kosinus die Koordinaten der Nullstelle der Oberkantenfunktion berechnen.
Ich habe als einen Punkt mit Abstand 0,8 m links von der 0 der Oberkantenfunktion (-0,535171785|0,594635317) berechnet. Der kann dann zur Berechnung von c verwendet werden.
Dann kommt als Funktion der Oberkante f(x)=-0,01469907009x²+0,8819442056x+1,070836916 heraus.
Die linke Nullstelle liegt somit bei x=-1,190553973, nicht bei -0,8.
d) Die beiden längsten Träger sind die in der Mitte. Wie weit sind die vom linken Schnittpunkt des Bogens (das ist der Graph von f) mit der Fahrbahn (das ist die X-Achse) entfernt?
e) Wie hoch ist die höchste Stelle des Bogens? Die Funktion gibt die Unterkante an, die Oberkante ist 80 cm höher.
Noch zu d)
Ich nehme an, du hast die Gesamtlänge der Brücke schon bei a) - c) berechnet. Daraus und dass der erste und letzte Träger 3 m vom Fußpunkt entfernt sind, solltest du den Abstand zwischen den Trägern berechnen können.
Ich habe inzwischen die korrekte Funktion der Oberkante berechnet. Damit dürften Schüler, die gerade erst mit Parabeln angefangen haben, etwas überfordert sein. Zumindest braucht es einen Ausflug in die Trigonometrie, um neben dem Scheitelpunkt einen weiteren Punkt zu bestimmen.
Für die gesuchte Funktionsgleichung der Oberkante setzt Du drei bekannte Größen ein: Da die Oberkante 0,8 m von der Unterkante entfernt ist, liegt die erste Nullstelle nicht bei x=0, sondern bei x=-0,8. Der Funktionswert des Scheitelpunktes liegt um 0,8 m höher als der der Unterkante. Außerdem ist natürlich auch hier die Ableitung beim Scheitelpunkt gleich Null.
Aus diesen drei Angaben kannst Du für die allgemeine Funktionsgleichung f(x)=ax²+bx+c drei Gleichungen aufstellen, aus denen sich a, b und c berechnen lassen.
Mein Tip: Fang mit der Ableitung an, weil es da nur zwei Unbekannte gibt, und drücke b in Abhängigkeit von a aus. Diesen Term dann für b in die Funktionsgleichung einsetzen, einen bekannten Punkt für x einsetzen und so auch noch c in Abhängigkeit von a ausdrücken. So bekommst Du eine Gleichung, in der nur noch a der Parameter ist. In diese kannst Du dann den anderen Punkt einsetzen und so a berechnen.
Zur Kontrolle:
Funktionsgleichung der Oberkante ist f(x)=-0,0150742115x²+0,9044526902x+0,7332096475