Wie komme ich zur Parabelgleichung?
"Eine Parabolantenne hat einen Durchmesser von 100 cm. Der tiefste Punkt (der Scheitel) liegt etwa 12cm tiefer als die Oberkante. In welcher Entfernung vom tiefsten Punkt muss der Empfänger montiert sein? Skizziere den Querschnitt der Parabolantenne und ermittle eine geeignete Parabelgleichung. Wie lange müssen die Streben zwischen Rand und Empfänger etwa sein?"
Es wäre mega lieb wenn mir jemand den Lösungsweg dazu erklären könnte: die Parabelgleichung muss y^2= 625/3x lauten, ich weiß nur leider nicht wie ich dahin komme. Danke, Danke, Danke im Vorausfalls jemand weiß wie ich, dass berechne
1 Antwort
Legen wir den Ursprung in den Scheitelpunkt des Paraboloids - es ist nach der Entfernung von diesem Punkt gefragt, da ist es naheliegend, alle Entfernungen hierauf zu beziehen.
Durchmesser d ist der doppelte Radius: d = 2 r. (Hier: d = 100 cm)
Wenn man einen Radius weit vom Scheitelpunkt radial weggeht, erreicht die Parabel die Höhe h der Schüssel:
a r^2 = h
Da r und h gegeben sind, kann man hieraus den Parameter a der Parabel berechnen (nur ungefähr, da die Höhe nur ungefähr gegeben ist).
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Der Empfänger liegt im Brennpunkt des Paraboloids, da der Satellit praktisch unendlich weit entfernt ist.
Kennst du die Gleichung für den Brennpunkt einer Parabel? Sonst kann man sich die herleiten:
Steigung im Punkt (x | a x^2) ist 2 a x.
Steigungswinkel alpha: tan(alpha) = 2 a x
Einfall der Strahlen vom Satelliten in diesem Koordinatensystem senkrecht von oben: beta = 90°
Ausfallswinkel beta' = beta - 2 * alpha
tan(beta') = tan(90° + 2 * arctan(2 a x))
= 1 / tan(2 arctan(2 a x))
= (-1 + (2 a x)^2) / (2 (2 a x))
= (-1 + 4 a^2 x^2) / (4 a x)
Die gespiegelten Strahlen schneiden die Achse des Paraboloids allesamt in
(0 | 1/ (4 a))
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Länge der Streben: Abstand der Punkte
(0 | 1 / (4 a))
und
(r | a r^2)
Danke, dass ist mega ausführlich, aber wie komme ich auf den Bruch 625/3 × x? Den für das aufstellen der Gleichung in de 1. Hauptlage brauche?