Beweis Metrik?
Ist das für die erste Teilfunktion korrekt ?ja , das weiß ich inzwischen, Wie mache ich das mit der zweiten Teilfunktion ?
2 Antworten
Gezeigt werden soll, dass die französische Eisenbahnmetrik eine Metrik ist. Für die Dreiecksungleichung muss d'(x,z) <= d'(x,y) + d'(y,z) gezeigt werden. Für das vorherige Axiom gilt offensichtlich, dass wenn x und y auf einer Ursprungsgeraden liegen, auch y und x auf einer Ursprungsgeraden liegen. Aber hier gilt nicht unbedingt, dass von den Punkten x, y, z entweder alle oder keine paarweise auf Ursprungsgeraden liegen. Es genügt hier keine Unterscheidung zwischen zwei Fällen, die den Teilfunktionen entsprechen.
Außerdem reduziert sich die euklidische Norm nur im eindimensionalen Fall auf den Betrag. Im Allgemeinen werden wie angegeben die Komponenten quadriert, aufsummiert und radiziert. Diese Definitionen müssen aber nicht mehr verwendet werden, wenn die verwendeten Ungleichungen schon vorher gezeigt wurden.
Wenn man auf der größeren Seite der Ungliechung d(x,y) bzw. d(y,z) stehen hat, kann man das direkt mit der Dreiecksungleichung weiter durch ||x|| + ||y|| bzw. ||y|| +||z|| nach oben abschätzen, sodass man weitere Fälle bekommt, ohne alle Fälle separat zu zeigen. Genauso kann man ||x|| + ||z|| nach unten durch d(x, z) abschätzen. Man muss verwenden und begründen, dass wenn x und z nicht auf der gleichen Ursprungsgeraden liegen, dass dann mindestens eins von den anderen Paaren auch nicht auf einer Ursprungsgeraden liegen, denn ||x|| + ||z|| <= d(x,y) + d(y,z) wäre falsch. Der Fall kann also nicht eintreten. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man sich ein Paar aussuchen, das nicht auf einer Ursprungsgeraden liegt und zeigt dann die Ungleichung mit Hilfe der bereits bekannten Dreiecksungleichung für die euklidische Norm.
Ja, der Beweis ist korrekt