Betrag von Omega bei zwei Würfeln immer 36?
Hallo! Im Matheunterricht haben wir vor kurzem eine Aufgabe behandelt: ,,Du wirfst zwei Würfel gleichzeitig, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Pasch?'' Zuerst wäre ich davon ausgegangen, dass Omega 21 Möglichkeiten enthält, da ich dachte, dass z. B. 1,2 und 2,1 als nur eine Möglichkeit gezählt werden, weil beim gleichzeitigen Würfeln die Reihen folge ja eig. egal ist. Nun hat mein Lehrer gesagt, es sei doch irgendwie möglich die zwei Würfel auseinanderzuhalten und somit hat Omega 36 Möglichkeiten. Aber jetzt kommt meine Frage: wieso steht dann in der Aufgabenstellung ,,gleichzeitig''? Wenn man die Würfel nacheinander Würfeln würde, dann wäre es ja trotzdem das gleiche Experiment, weil da Omega ja die gleichen 36 Möglichkeiten hat. Oder kann mir jemand erklären wo da der Unterschied liegt?
4 Antworten
tatsächlich wäre auch der von dir angegebene wahrscheinlichkeitsraum möglich. zu einem "wahrschienlichkeitsraum" gehören streng genommen noch 2 weitere dinge als die menge aller elementarereignisse. das eine werde ich nicht nennen, es würde nur verwirren. das andere ist das wahrscheinlichkeitsmaß.
in deinem Omega sind 21 elementarereignisse. diese reichen auch völlig aus um die frage nach einem "pasch" eindeutig beantworten zu können. allerdings verkomplizierst du dabei dein wahrscheinlichkeitsmaß.
wie hoch ist denn die wahrscheinlichkeit {1,1} zu würfeln (einen 1er pasch) ?
wie hoch ist denn die wahrscheinlichkeit {1,2} zu würfeln? (ungeachtet der reihenfolge)
kennst du das spiel "die siedler von catan"? da sind die zahlen 6,8 meistens farbig hervorgehoben und die 7 hat gar eine spezielle rolle. das liegt daran, dass die augensumme von diesen zahlen wahrscheinlicher ist. das liegt daran, dass es mehrere möglichkeiten gibt die 7 als summe zu bekommen. viel mehr möglichkeiten als es für die summen 2 oder 12 gibt.
hier ist es genauso. es gibt mehrere möglichkeiten {1,2} zu würfeln. die beiden würfel beeinflussen sich nicht gegenseitig. es kann der erste würfel 1 geben, der zweite 2 ODER umgekehrt. das ist eine möglichkeit mehr als für {1,1} möglich ist, da das vertauschen der reihenfolge kein neues ereignis ergibt.
berechnen wir einmal die wahrscheinlichkeit für ein paar ereignisse:
P({1,1})=1/6*1/6, da jeder würfel nur 1 bestimmte von 6 zahlen zeigen darf.
für unterschiedliche a,b von 1 bis 6 gilt:
P({a,b})=1/6*1/6+1/6*1/6, weil entweder der erste würfel "a" zeigt, der andere "b" zeigt oder umgekehrt. in beiden fällen hat jeder würfel nur genau 1 möglichkeit. wir bekommen also die doppelte wahrscheinlichkeit.
ein kurzer test:
6 päsche und 15 nicht-päsche haben also zusammen die wahrscheinlichkeiten 6mal 1/36 und 15mal 2/36 ist zusammen 36/36=1. macht sinn.
wie haben wir die wahrscheinlichkeiten eigentlich im detail ausgerechnet??? wir haben uns das überlegt aus der annahme, dass jede zahl je würfel gleichwahrscheinlich ist. stichwort: "laplace experiment".
für den wurf zweier würfel auf einmal haben wir so in einem ereignisraum ohne beachtung der reihenfolge ein wahrscheinlichkeitsmaß berechnet, welches jedoch NICHT für jedes elementarereignis dieselbe wahrscheinlichkeit berechnet.
was dein lehrer wollte ist:
die überlegung vom laplace-experiment eines einzelnen würfels auf zwei würfel zu übertragen. er beachtet demnach die reihenfolge, weil er die zuordnung der zahlen zu den jeweiligen würfeln braucht, weil er die jeweiligen würfel braucht um das "laplace-experiment" ausnutzen zu können.
dann hat er MIT reihenfolge 36 elementarereignisse, dafür aber ein sehr einfaches wahrscheinlichkeits maß. jedes elementarereignis habe einfach die wahrschienlichkeit 1/36, da ja alle elementarereignisse als gleich VORAUSGESETZT wurden.
daher kommt dann auch die formel P(A)=|A| / |Omega|, weil bei einem Laplace-experiment durch einfaches zählen der möglichkeiten um A zu erfüllen dividiert durch die gesamtzahl an möglichen elementarereignissen die wahrscheinlichkeit gegeben ist.
Um eben diese einfach formel nutzen zu können, lohnt es sich oftmals den raum Omega größer als nötig zu wählen.
dennoch war auch dein Omega zielführend, solange du dein wahrschienlichkeitsmaßs P richtig wählst. wie du siehst musste ich mir das mit produkten 1/6*1/6 etc... überlegen. dabei habe ich die beiden würfel eigentlich auch aufgeteilt in einzelne würfe, so wie dein lehrer. dies hat sich aber im P wiedergespiegelt statt im Omega.
Hallo,
es gibt in der Kombinatorik nur vier Grundmodelle:
Ziehen mit und ohne Zurücklegen und Ziehen mit und ohne Beachtung der Reihenfolge.
Beim Würfeln hast Du es immer mit dem Modell 'Ziehen mit Zurücklegen zu tun', denn nach dem Würfeln sind ja noch alle Augenzahlen auf dem Würfel geblieben, so daß beim nächsten Wurf wieder alles auf Anfang steht.
Der einzige Unterschied ist dann noch, ob es auf die Reihenfolge ankommt, ob also 1,2 als identisch mit 2,1 gilt, oder nicht.
Beim 'gleichzeitigen' Würfeln mit zwei Würfeln wäre es demnach das Modell
'Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge'.
An der Wahrscheinlichkeit für einen Pasch ändert sich dadurch nichts - die liegt so oder so bei 1/6; denn ob Du den Wurf zweier unterschiedlicher Augen als identisch betrachtest oder auch nicht, kommen sie dennoch als Einzelergebnis häufiger vor als ein Pasch. Denn 1,2 und 2,1 kommen doppelt so häufig vor wie 1,1 oder 2,2, da bei einem Pasch nur ein Wurf von 36 möglichen zu dem gewünschten Ergebnis führt (wenn es sich um einen speziellen Pasch handeln soll), während bei zwei unterschiedlichen Augenzahlen zwei Würfe zum Ergebnis führen. Egal also, ob Du 2,1 und 1,2 als identisch betrachtest oder nicht, kommt diese Kombination häufiger vor.
Wahrscheinlichkeit für 1,1 läge damit bei 1/36; Wahrscheinlichkeit für 1,2 läge bei 1/18, wenn man die Reihenfolge nicht beachtet und auch 2,1 als Treffer gelten läßt; ansonsten ebenfalls bei 1/36.
Die Wahrscheinlichkeit für irgendeinen Pasch läge in beiden Fällen bei 6*1/36=1/6, die Wahrscheinlichkeit für einen Wurf mit unterschiedlichen Augenzahlen läge in beiden Fällen bei 5/6.
Der Unterschied läge nur im Weg zum Ergebnis:
Beachtest Du die Reihenfolge, hat jedes Ereignis (jeder Wurf) eine Wahrscheinlichkeit von 1/36.
Beachtest Du die Reihenfolge nicht, haben die Päsche eine Wahrscheinlichkeit von 1/36, alle anderen Würfe eine Wahrscheinlichkeit von 1/18.
Im ersten Fall hast Du 36 unterschiedliche Ereignisse: 36*1/36=1
Im zweiten Fall hast Du 6 Ereignisse mit der Wahrscheinlichkeit von je 1/36 und 15 Ereignisse mit der Wahrscheinlichkeit von je 1/18.
6*1/36+15*1/18=1*6+5/6=1
Herzliche Grüße,
Willy
Das mit dem gleichzeitig ist völlig egal, die Würfel werden in der Realität sowieso nicht auf die Nanosekunde genau gleichzeitig auf ihren Würfelflächen liegen bleiben, sodass es in der Realität sowieso kein gleichzeitig gibt.
Ich habe keine Ahnung, warum euer Lehrer solch stupide Füllwörter mit rein schreibt, es reicht zu schreiben "Zwei Würfel werden gewürfelt ..."
Du hast natürlich recht. Andererseits kann man auch argumentieren, dass der Schüler selber herausfinden kann (und das hat er/sie ja auch), dass es keinen Unterschied macht, ob es gleichzeitig oder hintereinander passiert.
Da hast du vollkommen Recht, das können Schüler auch durch echte Würfelexperimente selber herausfinden.
Vielleicht kann man sich unter "gleichzeitig" Besseres vorstellen. Es ist aber egal, ob die Würfel gleichzeitig oder nacheinander geworfen werden.
Achtung: 1,2 und 2,1 zählen als unterschiedliche Möglichkeiten.
Vielen Dank!
Heißt das also, ich habe streng genommen Recht mit |Omega|=21, nur dass es sich dann nicht mehr um ein Laplace-Experiment handelt?