Besitzt jede kubische Funktion immer Nullstellen Falls ja, wie viele mindestens und wie viele höchstens ich weis das es mind. 1 und max.3 ist aber warum?

7 Antworten

Eine kubische Funktion hat als höchste Potenz das Monom x³.

Wählen wir die Funktion f so, dass

f(x)=ax³+bx²+cx+d

mit einer positiven reellen Zahl a, dann gilt

f(x) strebt gegen unendlich für x gegen unendlich und

f(x) strebt gegen -unendlich für x gegen -unendlich.

Da kubische Funktionen zur Klasse der Polynomfunktionen gehören, sind diese stetig auf ganz IR, also schneidet der Graph von f die x-Achse aus Gründen der Stetigkeit in mindestens einem Punkt. Also hat f mindestens eine Nullstelle.

Weiter gibt der Grad von f die Höchstzahl möglicher Nullstellen an. Bei eiiner kubischen Funktion ist der Grad 3. Also kann eine kubische Funktion maximal 3 Nullstellen haben. Im Fall von genau 3 Nullstellen lässt sich f schreiben als Produkt aus Linearfaktoren:

f(x) = a(x-x1)(x-x2)(x-x3),

wobei x1, x2, x3 paarweise verschiedene reelle Zahlen sind.

Die Zahlen x1, x2, x3 sind dann die Nullstellen von f.

Darstellungen für verschiedene Nullstellenanzahl:

Fall1: Sei f(x) = a(x-x1)(x²+e) mit einer positiven reellen Zahl e. Dann hat f genau 1 Nullstelle, nämlich die Nullstelle x1.

Fall2: Sei f(x) = a(x-x1)(x-x2)². Dann hat f genau 2 Nullstellen, nämlich x1 und x2. Dabei ist x1 eine einfache und x2 eine doppelte Nullstelle.

Fall3: Sei f(x) = a(x-x1)(x-x2)(x-x3). Dann hat f genau 3 Nullstellen, nämlich x1, x2 und x3.

Jede kubische Funktion hat mindestens eine reelle Nullstelle und höchstens drei. 

Schaut man sich das x mit dem höchsten Exponenten an (ax³), verändert das ³ nicht das Vorzeichen von x, also läuft (je nach Vorzeichen von a) der Graph entweder von -∞ bis +∞ oder umgekehrt. Da die Funktion stetig ist, muss die x-Achse mindestens einmal geschnitten werden.

Ein Polynom dritten Grades lässt sich in folgender Form darstellen:

P(x) = a*(x-x0)*(x-x1)*(x-x2)

a ist dabei ein skalierender Faktor und x0,x1 und x2 sind die drei Nullstellen.

Ist x1=x0 oder x1=x2 oder x2=x0 fallen zwei Nullstellen zusammen und das Polynom hat insgesamt nur noch zwei Nullstellen im Graph.

Ist x0=x1=x2 fallen Alle Nullstellen zusammen und da Polynom hat nur eine Nullstelle im Graph.

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