Beschränktes Wachstum nachweisen?

Also, ich hab hier grade eine Hausaufgabe mit der ich nicht so ganz weiterkomme:

Da ist eine Wertetabelle (x-Werte von 0-6 und die dazugehörigen f(x)-Werte in ziemlich krummen, positiven Zahlen unter 60, die größer werden).

Aufgabe ist es, nachzuweisen, dass beschränktes Wachstum mit der Schranke S=60 vorliegt, dazu soll man eine e-Funktion mit der Form f(x)= S - ce^kx verwenden.

Mein Ansatz war bis eben, dass ich S=60 eingesetzt und c mit der Formel c=S - f(0) ausgerechnet (mit den Werten kam c=50 raus) und auch eingesetzt hab.

Jetzt fehlt mir noch k, ich könnte ja ein weiteres Wertepaare aus der Tabelle einsetzen und nach k auflösen - aber dann hätte ich es ja nur für dieses Wertepaar nachgewiesen oder?

Weiß jemand, wie ich alle Wertepaare miteinbeziehen kann?

Danke schonmal :)

Answer 1

[eddiefox]

Hallo,

hier mal ein paar Beispielzahlen, an denen du dich orientieren kannst:

 x  |  0  |  1  |  2  | ... |  5  |  6  |
------------------------------------------
f(x)| 25,3| 36,3| 43,8| ... | 54,8| 56,5|
------------------------------------------

Die Funktion soll lauten

$f\left(x\right)=60-c\cdot e^{kx}$

Man muss also die Konstanten c und k anpassen.

Um c zu finden, rechnet man mit f(0):

$f\left(0\right)=60-c\cdot e^{k\cdot0}=60-c\cdot e^0=60-c\ ,\ \ denn\ e^0=1$

also

$25,3=60-c\ \ \leftrightarrow\ c=60-25,3=34,7\$

Jetzt müssen wir noch k bestimmen.

Dazu nimm einen der anderen Werte, z.B. x = 5.

$Es\ gilt\ \ f\left(x\right)=60-34,7\cdot e^{kx}\ ,\ \ also$

$f\left(5\right)=54,8=60-34,7\cdot e^{5k}$

$also\ \ 60-54,8=5,2=34,7\cdot e^{5k}$

$\frac{5.2}{34.7}=e^{5k}\ \Leftrightarrow\ \ln\left(\frac{5.2}{34.7}\right)=5k\ \Leftrightarrow\ k\approx-\frac{1.9}{5}=-0.38$

Die Funktion lautet also

$f\left(x\right)=60-34.7\cdot e^{-0.38x}$

Für x -> +∞ geht der Term e^(-0.38x) gegen Null, die Funktion f also gegen 60.

60 ist also für f die obere Grenze.

Die Zahlen brauchst du nun nur noch an deine Werte anpassen.

Es kann sein, dass k leicht anders ausfällt, wenn du k anstatt mit x = 5 mit einem anderen x-Wert berechnen würdest (z.B. mit x=3 oder x=6 ...).

Die Abweichung wird aber wahrscheinlich nicht groß sein, weil die Aufgabe so beschaffen ist, dass eine Funktion dieser Art die x-Werte modellieren soll.

Gruß

Comments

[amusicfan]

Ok danke, so hatte ich mir das auch in etwa gedacht, wollte nur wissen ob es einen allgemeineren Lösungsweg gibt, aber das hat sich dann ja geklärt :)

[eddiefox]

@amusicfan

Gerne.

Achso, nun sehe ich, dass ich einen Teil deiner Frage nicht beantwortet habe.

Weiß jemand, wie ich alle Wertepaare miteinbeziehen kann?

Da die Funktion so vorgebeben ist: f(x) = 60 - c e^(kx), kann man nur mit zwei Wertepaaren arbeiten, denn es gibt nur zwei Unbekannte zu berechnen.

Die Aufgabe ist wohl so gemacht, dass alle 7 Wertepaare ungefähr auf so einer Kurve liegen, egal mit welchen zwei Wertepaaren man c und k berechnet hat.

Das mit dem Nachweis der Beschränktheit ist auch etwas merkwürdig formuliert, da die Funktion gerade so vorgegeben und definiert ist, dass sie nach oben beschränkt ist.

Answer 2

[KDWalther]

Ist die Aufgabe nicht ein Widerspruch in sich?

In dem Moment, wo Du mit der vorgegebenen Funktion f arbeitest, hast Du ja das Modell des beschränkten Wachstums verwendet. Und die Schranke ist auch noch vorgegeben. Was willst Du da noch nachweisen?

Trotzdem ist der Weg, den Du beschritten hast, wohl genau so gemeint. Du müsstest jetzt noch nachweise, dass auch die übrigen Wertepaare, die Du bislang nicht genutzt hast, "ungefähr" zu Deinen drei errechneten Werten für S, c und k passen. Dabei können wohl leichte Abweichungen auftreten. Du darfst wohl ganz subjektiv entscheiden, ob Du diese Abweichungen tolerieren möchtest.

(Das wäre evtl. auch eine gute Gelegenheit, eventuelle Messfehler bei der Erhebung der Daten, Schwankungen in dem abgelaufenen Prozess . . . ins Spiel zu bringen.)

Woher ich das weiß: Berufserfahrung – Mathestudium