Benötige Hilfe in mathe bitte!?
Hi Leute!
ich bräuchte Hilfe bei einer Extremwertaufgabe mit nebenbedingungen!
Die frage lautet:
Nomaden bauen mithilfe von vier Stäben der länge 2,40m ein pyramidenförmiges zelt mit quadratischen Grundriss auf. wie entsteht ein zelt mit größtmöglichem rauminhalt ?
Da ich dieses thema momentan noch nicht verstehe würde ich mich sehr über eine vorrechnung freuen !
schönen tag euch
3 Antworten
Hallo,
zunächst brauchst Du eine Vorstellung davon, wie das Zelt aussieht und was die vier Stäbe darstellen:
Das Zelt ist eine quadratische Pyramide und die vier Stangen sind die Kanten, die sich in der Spitze treffen und deren Fußenden auf dem Boden ein Quadrat bilden.
Je weiter die Stäbe auseinanderstehen, desto größer wird die Fläche des Quadrats, dafür wird das Zelt aber niedriger - und umgekehrt.
Stell Dir das bildlich vor, wie Du die Stangen am Boden auseinanderziehst und das Zelt niedriger wird - und wie Du sie näher zusammenstellst, so daß das Zelt höher wird.
Nun stell Dir eine virtuelle fünfte Stange vor, die die Spitze des Zeltes mit dem Mittelpunkt des Quadrats verbindet.
Diese Stange ist die Höhe.
Wenn Du den Fußpunkt einer der vier Stangen mit dem Fußpunkt dieser Höhe verbindest, bekommst Du ein rechtwinkliges Dreieck:
Kathete am Boden: Verbindung Kantenfußpunkt-Höhenfußpunkt.
Senkrechte Kathete: die gedachte 5. Stange, also die Höhe des Zeltes.
Hypotenuse: Eine der vier Stangen, Länge gleich 2,4 m.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt also: (d/2)²+h²=2,4²
Nenne die Höhe h und die Verbindung zwischen Kante und Höhe am Boden d/2, denn sie ist die halbe Diagonale des Quadrats, das die Grundfläche des Zeltes bildet.
Preisfrage:
Was hat die halbe Diagonale eines Quadrats mit seiner Fläche zu tun?
Wir wissen, daß die Fläche eines Quadrats a², also Kantenlänge hoch 2 ist.
Die Diagonale und die Kantenlänge eines Quadrats verhalten sich wie
Wurzel (2) zu 1.
Das Quadrat am Boden hat also eine Kantenlänge von d/Wurzel (2) und die Fläche
ist das Ganze zum Quadrat, also d²/2.
Das Volumen einer Pyramide ist 1/3 mal Grundfläche mal Höhe,
also V=(1/3)*(d²/2)*h=h*d²/6
f(h;d)=h*d²/6 ist also die Funktion, die einen maximalen Wert annehmen soll.
Die Nebenbedingung ist die Kantenlänge der Pyramide, die mit 2,4 m festgelegt ist und durch die d und h voneinander abhängig sind.
Wir hatten eben den Pythagoras:
(d/2)²+h²=2,4²
Das ist die Nebenbedingung, die wir nach (d/2)²=d²/4 auflösen:
d²/4=2,4²-h²
Wenn wir d²/4 mit 2/3 multiplizieren, kommen wir auf die d²/6 aus der Funktion.
Natürlich müssen wir das mit dem Rest der Gleichung auch machen:
d²/6=(2/3)*(2,4²-h²)
Wenn wir diesen Term für d²/6 in die Funktion eingeben, ist sie nur noch von h abhängig und wir erhalten f(h):
f(h)=h*(2/3)*(2,4²-h²)
Um das Maximum zu berechnen, bildest Du nun die Ableitung f'(h) und setzt sie auf Null:
f'(h)=(2/3)*(2,4²-h²)+(2/3)h*(-2h) (Produktregel)
Das ist gleich
(2/3)*(2,4²)-(2/3)*h²-(4/3)h²
Sortieren, zusammenfassen und auf ull setzen:
2h²-(2/3)*2,4²=0
Durch 2 teilen:
h²-(1/3)*2,4²=0
h²=2,4²/3
h=2,4/Wurzel (3)=1,39 m
Da h²=2,4²/3 und d²/4=2,4²-h²,
ist d=Wurzel (4*(2,4²-1,39²))=3,91 m
Maximales Volumen des Zeltes dann h*d²/6=3,54 m³
Herzliche Grüße,
Willy
Vielen dank Willy für deine ausführliche erklärung !
ich bin fast an der aufgabe verzweifelt :D
ich wünsche dir noch einen schönen abend!
und nochmals vielen dank
Doch, die paßt schon.
Mit zwei unterschiedlichen Methoden berechnet und in beiden Fällen auf die gleich Lösung gekommen.
Höhe des maximalen Volumens: (4/5)*Wurzel (3) m.
Na gut erstmal muss du dir überlegen wie du den Rauminhalt, also das Volumen V, in Abhängigkeit von der Seitenlänge a der quadratischen Grundfläche G mit einer Formel beschreiben kannst.
V = 1/3 * G * h
G = a*a
die Kantenlänge der Pyramide ist 2,4 m. das Volumen veränderst du, in dem du die Stäbe steiler oder flacher zusammenstellst. Je nach dem verändern sich dabei sowohl die Grundfläche, wie auch die Höhe. Ich definiere jetzt einfach noch eine Variable b, die den Abstand von der Ecke der Pyramide zum Mittelpunkt der Grunfläche G beschreibt
a=sqrt(2)*b
h^2+b^2=2,4
b=sqrt(2,4-h^2)
a=sqrt(2*(2,4-h^2))
G=2*(2,4-h^2)=4,8-h^2
damit ergibt sich V=1/3 * 2*(4,8-h^2) * h = 8,8/3 * h - 2/3 * h^3
So dann zum eigentlichen Extremwertproblem. Was ist gesucht? Der maximale Wert den V annehmen kann. An der Stelle eines Maximums ist die Steigung null.
Also musst du V´(b) = 0 bestimmen. Dann kannst du optional noch überprüfen welche der Nullstellen Maxima und welche Minima sind. Dazu brauchst du die zweite Ableitung.
Kann sein, dass ich mich irgendwo verrechnet hab, also rechne es lieber selber nochmal nach.
Vielen lieben dank für deine schnelle und gute hilfe!
du bist der erste der mir so gut geholfenhat :)!
schönen abend dir noch !
Volumenformel ist klar? Die 4 Stäbe sind die Seitenkanten der Pyramide! Höhe h als "Laufparameter" verwenden. Nach meiner Logik müsste es gleichseite Dreiecke ergeben!
Das mit den Stäben stimmt, das mit den gleichseitigen Dreiecken leider nicht.
Um das Rechnen kommt man hier nicht herum.
Meine Lösung habe ich übrigens noch mal mit dem Lagrange-Verfahren überprüft und kam auf genau das gleiche Ergebnis.
Diese Lösung ist nicht richtig