Bedeutung der Zerfallskonstante?
Hallo, mehrfach lese ich:
"Die Zerfallskonstente gibt an, welcher Anteil bzw. wieviel Prozent der noch nicht zerfallenen Atomkerne in einem Präparat in der nächsten Sekunde durchschnittlich zerfallen werden."
Nach näherem Betrachten kann ich mich damit irgendwie nicht Anfreunden. Die Zerfallskonstante ist da in erster Linie die Proportionalitätskonstante zwischen einer beliebigen Anzahl an Kernen und der dazu gehörigen momentanen Änderungsrate.
Mal angenommen, die Zerfallskonstante wäre 0,1 1/s . Die obere Definition hieße das: In der ersten Sekunde zerfallen 10%, bei anfangs 100 Kernen wären das noch 90 Kerne, nach 2 Sekunden zerfällt dann 10% von 90, also ist man dann bei 81 usw. Wenn ich die gleichen Daten in die Zerfallsgleichung packe, erhalte ich aber für (1s) bzw. (2s) andere Werte, was plausibel erscheint, da nach jedem zerfallenen Kern die momentane Änderungsrate abnimmt, bei der obigen Definition aber, wird von einer konstanten Änderungsrate für das Intervall von 1 Sekunde ausgegangen.
Heißt das, die obige Definition ist falsch?
Danke im Voraus!
3 Antworten
bei der obigen Definition aber, wird von einer konstanten Änderungsrate für das Intervall von 1 Sekunde ausgegangen.
Nein. Es bedeutet nur dass pro Sekunde 90% der Ursprungsmenge übrig bleibt. Das sagt aber nichts darüber aus ob die Änderungsrate in einer Sekunde konstant wäre.
Wenn zB 10% der Kerne in einer Sekunde zerfallen ist das Zerfallsgesetz eben N*0.9^t wobei t die Zeit in Sekunden ist.
Du kennst vermutlich die Variante:
N(t)=N0*e^(-lambda*t)
Die ist ähnlich zu der von mir gelieferten Formel und die beiden lassen sich umrechnen:
N(t)=N0*(e^(-lambda))^t
Womit sich der Zusammenhang
a=e^-lambda ergibt.
Wenn wir also das Zerfallsgesetz wie oben schreiben dann folgt daraus eben 0.9=e^(-lambda) => lambda = 0.105.
Die Interpretation der Zerfallskonstante lambda ist eine andere wie die oben genannte. Diese gibt die Zeit an in welcher 1/e Kerne zerfallen das sind etwa 37%. Um auf die Zerfallszeit zu kommen musst du dabei den Kehrwert verwenden. Also lambda=0.105 bedeutet alle 9.5s Zerfallen 37% der Kerne.
Das Zerfallsgesetz kannst du also so oder so angeben und je nach Angabe ist die Interpretation der Zerfallskonstante eine andere.
Die von dir genannte Variante geht von der Definition über die von mir verwendete Formel an.
Danke erstmal, aber du stimmst mir doch eigentlich nur zu. Sowie Zalto auch anführt, bedeutet lambda in der Form N(t)=N0*e^(-lambda*t) NICHT den Anteil an Kernen,der in einer Sekunde zerfällt von der noch vorhandenen Menge, sondern lediglich die momentane Änderungsrate zu einem infinitesimal kleinen Zeitpunkt. Lässt sich ja auch einfach überprüfen. Wenn man Lambda als Anteil der zerfallenden Kerne von der aktuellen Kernanzahl pro Sekunde sieht, kommt man auf ein Zerfallsgetz der Form: N*lambda^t, was aber nicht äquivalent zu N(t)=N0*e^(-lambda*t) bei gleichem lambda ist.
Nein aber ich denke, dass die Definitionen die du gelesen hast einfach von der Form in meiner Antwort ausgehen und nicht der von dir verwendeten.
Es ist bei der Angabe der Interpretation einer Größe immer wichtig gleichzeitig zu wissen wie diese in diesem Werk genau definiert ist.
Die von dir gelesenen Definition sind somit nicht zwingend falsch.
Also wenn jemand lamda nutzt, geh auch davon aus, dass er das lambda aus N(t)=N0*e^(-lambda*t) meint, abgesehen davon, das auch diese Formel auf der Seite genutzt wird. Wir sind uns jetzt aber denke ich einig, dass wenn das Lambda im Sinne des "klassischen Zerfallsgetz" (N(t)=N0*e^(-lambda*t)) gemeint wäre, die oben aufgeführte Definition falsch wäre, oder?
Ich habe keine Ahnung was deine Quelle für die von dir angeführte Definition ist, daher kann ich nicht sagen ob sie richtig oder falsch ist.
Wenn diese Interpretation im Rahmen der Formel N0*exp(-l*t) für lambda gemeint ist dann ist sie falsch.
Wenn du nur nach "Interpretation Zerfallskonstante" oder so gesucht hast und nur diese Interpretation ohne zugehörige Formel gelesen hast dann ist sie deswegen nicht falsch.
So etwas wie ein "klassisches Zerfallsgesetz" gibts an sich nicht. Du kannst beide Problemlos verwenden.
In der Kernphysik wird gängigerweise auch die Halbwertszeit angegeben und keine Zerfallskonstante.
Das bezieht sich auf dN=-lambda*N*delta T und darauf stimmt es dann schon.
Der Grund warum du eben andere Ergebnisse hast ist dass das eine kontinuierliche Funktion ist und dN nicht für eine Sekunde lang konstant ist.
Die Beschreibung ist dabei eben etwas falsch verständlich weils das wie von mir beschriebene Impliziert. Gemeint ist es aber eben auf diese Formel. Delta t ist dabei eben unendlich klein.
Bzw anders gesagt das Pro Sekunde ist falsch. Es ist pro unendlich kurzer Zeitspanne
Hier wird eine Einheit ("Sekunde") verwendet, um eine Größe ("Zerfallskonstante") zu definieren. Das ist ein logischer Kategorienfehler und der lädt zu allerlei Mißverständnissen und Denkfehlern ein.
Den Verfasser kann die gute Absicht verleitet haben, sich möglichst anschaulich auszudrücken. Dem aufmerksamen Leser bereitet das nun störende kognitive Dissonanzen. Man kann damit umgehen, wie es Schüler oft zu tun genötigt sind, indem man aus der ungeschickten Formulierung durch Nachgrübeln, wie sie "gemeint" ist, eine brauchbare Bedeutung zu gewinnen versucht.
Ich schlage vor, die "Sekunde" zu ersetzen durch einen "kurzen Zeitabschnitt", wobei "kurz" so viel bedeutet wie "kurz im Vergleich zur Lebensdauer des zerfallenden Nuklids", d.h. etwa das, was zalto "infinitesimal kurz" genannt hat.
Ja, das mit der "in der nächsten Sekunde" ist ungenau. Betrachtet wird ein infinitesimal kurzer Zeitraum für eine momentane Zerfallsrate.
Bei einer Halbwertszeit von Tagen oder länger wäre eine Sekunde hinreichend kurz.
Aber so sieht kein Zerfallsgesetz aus.