Aus welchem Grund gibt es keine negativen Längen?
Ich weiß, es klingt erstmal wie eine blöde Frage aber, beispielsweise bei einem Quadrat: wenn ich ein Quadrat mit der Kantenlänge 2 nehme erhält man ja logischerweise den Flächeninhalt 4. Wenn ich jetzt die Wurzel daraus ziehe erhalte ich 2 und -2 und wenn ich jetzt wiederum -2 quadriere ergibt es wieder einen vorstellbaren Raum nämlich 4. Also wieso kann das nicht sein?!
8 Antworten
Hey, ich bin jetzt leider nicht soooo Mathematikversiert, aber schöne Frage, nebenbei! ;)
Ich glaube (reine Überlegung meinerseits), dass eine Länge ein reiner Betrag und kein Vektor im Sinne einer Richtung ist. Die Länge, die ja als reine Distanzeinheit dient, gibt einfach ohne Orientierung der Richtung die Distanz an, die hierbei 2 cm wäre. Würdest du aber einen Vektor haben, der von einem Punkt zum anderen läuft könntest du durchaus 2 und -2 bekommen, da dabei die Richtung deines Laufes berücksichtigt werden würde. Die Länge beider Vektoren (-2/0) und (2/0) wäre jedoch trotzdem positiv, da die Länge an sich als solches keine Richtungsorietierung und somit auch kein Vorzeichen besitzt. Wow, das war jetzt etwas unverständlich, glaube ich... :(
Wie gesagt, reine Überlegung. Wäre aber super, wenn mich jemand belehren könnte, ob ich damit Recht behalte.
Grüße,
Caryll. :)
So hätte ich es auch erinnert, da sich beim quadrieren für die Längenberechnung das Vorzeichen ja ohnehin weghebt. :)
Ich frage mich nur, ob man ernstlich so mathematisch begründen kann, dass es keine negativen Längen gibt. Gibt es dafür eine Beweisführung oder ist es vielleicht einfach per Definition so? Ich glaube mich nämlich daran zu erinnern mal von negativer Masse gehört zu haben. Das hat mich etwas denken lassen... :)
Aber das Argument mit dem Ausheben der Vorzeichen scheint mir ganz gut, wenn man davon ausgeht, dass Länge wirklich nur auf vereinfachte Vektoren zurückzuführen ist. Danke! Inspiriert für den Abend. ;)
Bereits die 1. Überlegung des Fragestellers, dass man bei √4 auch -2 erhält, ist fasch!!!
Die Wurzelfunktion ist so definiert, dass sie nur positive Werte liefert.
√ 4 = 2 und sonst NICHTS !!!
Es gilt zwar, (-2)² = 4 aber der Umkehrschluss mit der Wurzelfunktion gilt NICHT. √4 ist niemals =- 2
Allgemein gilt für reelle x:
√ (x²) =│x│ und NICHT: √ (x²) = x
Stimmt, daran habe ich überhaupt nicht gedacht!
Darum ja auch plus/minus Wurzel x. Verdammt, da war ich in meinen Gedankengängen fahrlässig, das hätte ich merken müssen. Danke für den Kommentar! Immer gut, was neues zu lernen. :)
Wie jedoch gesagt, leider stecke ich noch immer in der Oberstufenmathematik fest und tendiere zu Flüchtigkeitsfehlern. ;)
Weil es rein praktisch nicht sein kann
Auch mathematisch nicht, denn √4 ist NICHT -2 sondern nur 2.
Damit beginnt der Denkfehler des Fragestellers.
NEIN, schon deine 1. Überlegung, dass du bei √4 auch -2 erhältst, ist fasch!!!
√ 4 = 2 und sonst NICHTS !!!
Die Wurzelfunktion ist grundsätzlich so definiert, dass sie NUR POSITIVE Werte liefert, keine negativen! Sonst wäre es auch gar keine Funktion!
√ 4 ist NIEMALS = -2
Es gilt zwar, (-2)² = 4 aber der Umkehrschluss gilt NICHT
Allgemein gilt für reelle x:
√ (x²) = │x│ und NICHT √ (x²) = x
Du beschreibst hier einen sehr einfachen Zusammenhang der Schulmathematik, der den Physikern und Mathematikern an anderer Stelle wesentlich mehr kopfzerbrechen bereitet, wenn es darum geht unsere Welt und unser Universum zu beschreiben.
Die Mathematik ist in der Lage, Dinge zu beschreiben, die wir uns nicht vorstellen können, oder die es gar nicht gibt.
Darüber hinaus liefern mathematische Formeln völlig korrekte Lösungen, die in der Natur nicht vorkommen oder vielleicht noch nicht beobachtet bzw. experimentell nachgewiesen wurden.
Eine negative Strecke ergibt in unserem Vorstellungsvermögen keinen Sinn. Wir sind nicht einmal in der Lage eine Negative Strecke mit Sprache zu beschreiben.
Um es aber noch kurioser zu machen:
Was passiert eigenlich wenn Dein Quadrat aus einer negativen Länge (-2) und einer positiven Breite (2) besteht?
Mathematisch möglich ergibt dieses Quadrat einen Flächeninhalt von -4!
Als mathematische Formel ausgedrückt -ohne das gesagt wird das das Ergebnis ein Flächeninhalt sein soll - macht die Formel sogar Sinn:
X * Z = Y -2 * 2 = -4
Da macht das gar nichts aus, das für X oder Y negative Werte eingesetzt werden oder bei Y ewas negatives herauskommt.
Für die Geometrie ist festgelegt, das es weder negative Strecken, noch negative Flächen oder Räume gibt, obwohl die Mathematik hier durchaus Lösungen anbietet.
Interessant wird es, wenn man bei bestimmte Formeln bspw. der Relativitätstheorie derartige mathematische Experimente macht.
Da kommt dann bspw. heraus, das sich ein Teilchen mit Überlichtgeschwindigkeit bewegen kann, wenn es eine "imaginäre Masse" hat.
Anmerkung: Zur Berechnung der Masse dieses Teilchens muss man bei korrekter Anwendung der Formeln die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ziehen.
Ob es so ein Teilchen tatsächlich gibt ist genau so fraglich wie Deine negative Strecke. Mit der Mathematik lässt es sich jedoch beschreiben.
Also möglicherweise existiert so etwas im weiteren Dimensionen die wir uns nicht vorstellen können. So wie das Beispiel mit dem Flächenland.
Das Beispiel mit dem Flächenland finde ich gut.
Mit dem "möglicherweise" wäre ich allerdings vorsichtig.
Nicht jede Lösung, die die Mathematik anbeitet, muss auch ein reales Äquivalent haben.
Manchmal schliesst auch eine Definition bereits aus, das die mathematische Lösung richtig ist oder ein reales Äquivalent hat.
Wie einige hier bereits beschrieben haben ist eine Strecke immer en Absoluter Wert. Das schliesst per Definition aus, das eine Strecke negativ ist.
Allerdings - und da kommt dann das "Flächenlandgleichnis" ins Spiel - ist es auch möglich das unsere Definition einfach falsch ist.
Das ist zwar ganz weit hergeholt aber irgendwann hat die Menschheit auch festgestellt, das die Erde keine Scheibe ist.
Wer weis was die Zukunft an wissenschaftlichen Erkenntnissen noch so auf Lager hat.
Bereits die 1. Überlegung des Fragestellers, dass man bei √4 auch -2 erhält, ist fasch!!!
Die Wurzelfunktion ist so definiert, dass sie nur positive Werte liefert.
√4 = 2 und sonst NICHTS !!!
Es gilt zwar, (-2)² = 4 aber der Umkehrschluss mit der Wurzelfunktion gilt NICHT. √4 ist niemals =- 2
Allgemein gilt für reelle x:
√(x²) =│x│ und NICHT: √(x²) = x
Das wäre toll, wenn es eines Tages eine Anti-Länge gäbe! So wie es Gedanken an Anti-Gewicht (negative Kilogramm) schon gibt. Aber negative Kilo haben Körper, die sich abstoßen. Aber eine negative Länge geht irgendwie nicht!
Die Länge ist um genau zu sein der Betrag eines Vektors, und der kann natürlich nur positiv sein. So würde ich es mir zumindest ganz einfach erklären^^ Rein logisch betrachtet kann ja auch keine negative Länge existieren, genauso wenig wie ein negatives Gewicht oder ein negatives Volumen etc...