Aus Nullstellen eien Funktionsgleichung erstellen
Hey Leute,
habe folgendes Problem: Habe zwei Nullstelle, und zwar -2 und 3. Nun soll ich daraus eine Funktionsgleichung formen. Wäre ja nicht so schwer, wenn es da nicht noch die Bedingung gäbe, dass der Graph durch den Punkt P(0/3) gehen muss. Das Ergebnis kenne ich bereits von einem Lösungsblatt, kann aber den Rechenweg nicht nachvollziehen und es wäre nett, wenn mir jemand erklären könnte, wie ich nun vorgehen muss.
MfG Giovinco
5 Antworten
Nullstellenform
a(x + 2)(x - 3)= a(x² - x - 6)
Daher muss a hier 1/2 sein.
1/2(x² - x - 6) = 1/2 x² - 1/2 x - 3
Wenn Du zwei Nullstellen a und b hast, dann ergibt sich die Funktionsgleichung immer einfach aus (x-a)*(x-b), denn an den Nullstellen ist dann entweder der rechte oder der rechte Faktor null.
Um den angegeben Punkt zu erreichen, musst Du nur einen entsprechenden Faktor anwenden, der ergibt sich aus dem gewünschten FUnktionswert geteilt durch den Wert, den die Funktion ohne den Faktor an dieser Stelle besitzt.
also du hast die Nullstellen -2 und 3 d.h dass der Term grob so aussehen muss:
(x+2)(x-3)=y so wenn du für x einmal -2 einsetzt kommt 0 raus und wenn du für x 3 einsetzt kommt auch null raus, soweit wars ja klar.
so wenn das jetzt noch durch den Punkt P(0/3) gehen muss dann ist 0 der x wert und 3 der y wert. d.h du setzt das einfach ein: (0+2)(0-3)=3 Wenn du das jetzt ausrechnest steht am ende da -6=3 is klar, das stimmt nicht wenn du jetzt aber vor den ganzen term noch eine Variable setzt die du selbst bestimmst dann kannst du das ändern: a(0+2)(0-3)=3
Jetzt löst du das ganze einfach nach a auf: a*(-6)=3; a=-0.5
das ergebniss von a schreibst du dann einfach davor: -0.5(x+2)(x-3)=y
Wenn du nochmal nachrechnest bleiben die Nullstellen und der Punkt stimmt auch
LG Flo
Hallo Giovinco,
Eigentlich ist die Lösung ganz einfach. Fangen wir zunächst mit den Nullstellen an. Der Produkt mit einer Klammer und einer Null ist immer Null. Die Gleichung muss so erstellt werden, sodass die Multiplikation beider Klammern Null ergibt.
x+2=0 (erste Nullstelle bei -2) x-3=0 ( zweite Nullstelle bei -3)
Die Multiplikation (x+2)(x+3) ist für -2 und 3 Null. Die y-Achse soll bei n=3 geschnitten werde. Das heißt: a*f(0)=3.
a* (-6)=3 a=-0.5
Die Gleichung müsste somit f(x)= -0.5(x+2)(x+3) lauten.
Die allgemeine Gleichung lautet f(x)= ax²+bx+c
Dann alle wenn du alle Punkte einsetzt, hast du drei Gleichungen, und kannst so mit Hilfe eines Gleichungssystems a,b und c bestimmen.