Aufgaben zu exponentiellem Wachstum?
Hallo, ich muss bei folgenden Aufgaben den Wachstumsfaktor und die prozentuale Veränderung pro Zeiteinheit bestimmen. Es wird von exponentiellem Wachstum ausgegangen. Allerdings habe ich keine Ahnung wie das geht, kann mir einer helfen? :D
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Morgens um 6 Uhr 150, abends um 18:30 Uhr bereits 1500.
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nach nur einem 3/4 Tag nur noch 1 Achtel.
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2002 noch 4,2%, 2015 nur noch 2,2%.
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alle zehn Jahre eine Verdopplung.
1 Antwort
Eine Funktion, welche Exponentielles Wachstum wiedergibt wäre von folgender Form:
f(x) = a*e^(b*x)
Die jeweiligen Konstanten kann man dabei wie folgt ermitteln:
1.) Das b berechnen:
f(x) = a*e^(bx)
f(y) = a*e^(by)
--> f(x)/f(y) = e^(b*(x-y))
--> ln(f(x)/f(y)) = b*(x - y)
--> [ln(f(x)) - ln(f(y))]/(x - y) = b
Du benötigst also nur zwei Punkte auf dem Graphen:
P1 = (x | f(x) ) und P2 = (y | f(y) )
und dann kannst du das b über:
[ln(f(x)) - ln(f(y))]/(x - y) = b
berechnen.
2.) Das a berechnen:
Da nun das b bekannt ist, brauchen wir nur noch einen der beiden Punkte und setzen diesen einfach ein und formen anschließend nach a um:
f(x) = a*e^(bx)
--> f(x)*e^(-bx) = a
Damit haben wir dann also auch das a berechent.
3.) Wie finde ich die natürliche Basis?
Wir haben das ja jetzt alles nur zur Basis e berechnet. Das ganze lässt sich jedoch schnell in die Darstellung mit "natürlicher" Basis überführen:
f(x) = a*e^(bx) = a*(e^b)^x
die natürliche Basis ist dann also in dem Fall:
Basis = e^b
sei diese nun mal c , also: c = e^b , so erhalten wir als endgültige Lösungsformel:
Gegeben:
P1 = (x | f(x) ) und P2 = (y | f(y) )
mit f(x) = a*e^(bx)
---> [ln(f(x)) - ln(f(y))]/(x - y) = b
---> f(x)*e^(-bx) = a
und mit c = e^b folgt dann:
f(x) = a*c^x