assoziative Gruppe aber nicht kommutativ?
Führe gerade einen Beweis und frage mich, ob folgender Schritt, um b aus der Klammer raus zu bekommen, möglich ist, mit dem Hintergrundwissen, dass die Gruppe logischerweise assoziativ ist, aber möglicherweise nicht kommutativ, also es ist nicht davon auszugehen, dass es sich um eine abelsche Gruppe handelt.
a ◦ (b ◦ a^-1) = (a ◦ a^-1) ◦ b
Ich glaub, es stimmt halt nicht weil ich ja eigentlich nur b und a^-1 getauscht hab wie nach Kommutativgesetz und danach Assoziativgesetz verwendet hab, aber ich finde keinen Weg von der Form a ◦ (b ◦ a^-1) auf die Form (a ◦ a^-1) ◦ b ohne Kommutativgesetz zu kommen.
Kann jemand helfen?:)
2 Antworten
Im Allgemeinen ist der Schritt nicht möglich, sondern nur, wenn a ◦ b = b ◦ a. Das erhält man aus der Gleichung a ◦ (b ◦ a^-1) = (a ◦ a^-1) ◦ b durch Multiplikation mit a von rechts auf beiden Seiten.
a b a⁽⁻¹⁾ = b gilt genau dann, wenn a und b miteinander vertauschbar sind (ab = ba).
Dazu muss nicht die Verknüpfung auf der ganzen Gruppe kommutativ sein, sondern es geht nur um die Vertauschbarkeit von a und b.