Wie kann man die Anzahl der nur aus Diagonalen bestehenden Dreiecke in einem regelmäßigen 8-Eck, bzw. n-Eck berechnen?
Wie kann man die Anzahl der nur aus Diagonalen bestehenden Dreiecke in einem regelmäßigen 8-Eck, bzw. n-Eck berechnen?
3 Antworten
Also wenn mit diagonalen die äußeren Kanten nicht gemeint sind dann geht es so:
Ein Dreieck lässt sich eindeutig durch drei Punkte festgelegt werden. Jedoch muss noch für die Punkte gelten, dass zwei nicht benachbart sind, da sonst zwischen den beiden eine Kante statt einer Diagonale ist.
Der erste Punkt hat 8 verschiedene Möglichkeiten. Der zweite nur noch 5, da die beiden Punkte neben dem ersten gesperrt sind. Der dritte Punkt hat entweder 3 oder 2 Möglichkeiten, es hängt davon ab, ob der zweite Punkt direkt neben einen gesperrten Punkt ist oder nicht
Somit sind es insgesamt 8*(2*3+3*2) 8*12 Dreiecke.
Jedoch musst du noch beachten, dass die Reihenfolge der drei Punkte egal sind. Somit musst du noch durch 3! = 6 teilen
Insgesamt sind es also 8*2=16 mögliche Dreiecke.
Für ein n-eck musst du es dir nun selbst überlegen :)
Auf dem n-Eck liegen insgesamt n·(n–1)·(n–2)/6 Dreiecke. Davon haben n zwei Kanten mit dem n-Eck gemeinsam, und n·(n–4) besitzen genau eine n-Ecks-Kante. Die übrigen werden nur von Diagonalen begrenzt.
Bei n=8 macht das 8·(7·6/6 – 1 – 4)=16 Dreiecke.
Sollen Rotationen nicht mitgezählt werden, muss das Ergebnis durch n geteilt werden, falls n nicht durch 3 teilbar ist. Bei n=3k gibt es n/3 gleichseitige Dreiecke, die getrennt verrechnet werden müssen.
Und wenn Spiegelungen auch nicht mitgezählt werden sollen, wird's etwas komplizierter. Möglicherweise ist es dann einfacher, alle sortierten Zahlentripel (a, b, c) mit a+b+c=n und 2≤a≤b≤c zu zählen ...
Also bevor ich los lege ;)
Suchst du die Radius Formel oder die Flächen Formel? Und dann gibts noch eine andere Formel aber du sagtest ja Diagonale, daher würde die andere Formel heraus fallen^^