Anteil eines vektors in eine bestimmte Richtung berechnen?
Ich habe mich gerade mit optischen Filtern befasst, die ja nicht wirklich bestimmte Wellenlängen canceln sondern lediglich deren Richtung ändern.
Jetzt hätte mich interessiert:
gegeben Vektor w=(x,y).
Wie finde ich den Anteil des Vektors, der in Richtung v=(1,2) zeigt?
oder wie bspw. spalte ich den Vektor in 2 Vektoren auf, wobei der erste 32° zur positiven x-achse und der zweite 32°+90=122° gerichtet ist?
Wie zerlege ich prinzipiell einen vektor in seinen anteil in eine bestimmte Richtung und den anteil senkrecht zu dieser richtung?
wie berechnet man das?
3 Antworten
Hallo,
wenn Du einen Vektor b auf einen Vektor a projizierst, berechnet sich die Projektion b(a) nach folgender Formel:
b(a)=[(a·b)/|a|²]·a
In Deinem Fall also [(1/2)·(x/y)]/[(1²+2²)]·(1/2)=[(x+2y)/5]·(1/2)
Das Ergebnis ist die Projektion von Vektor b auf Vektor a.
Möchtest Du nur die Länge der Projektion, nimmst Du den Betrag dieses Vektors.
Herzliche Grüße,
Willy
Ein Vektor wird auf Einheitsvektoren / Basisvektoren eines Vektorraums bezogen. Im Normalfall (in dem Beispiel wohl zweidimensional) sind das die Basisvektoren [1,0] und [0,1].
Jeder Vektor [v1,v2] kann folgendermassen dargestellt werden :
[v1,v2] = v1 * [1,0] + v2 * [0,1].
v1 ist also der Anteil, der in Richtung der x-Achse zeigt, und v2 der Anteil, der in Richtung der y-Achse zeigt.
Jeder Vektor kann als Summe von z.B. zwei Vektoren dargestellt werden
[v1,v2] = [a1,a2] + [b1,b2]
Allerdings ist die Lösungsmenge {a,b} unendlich gross. Die Bedingungen, dass die Vektoren a und b in einem bestimmten Winkel zur x/y-Achse stehen müssen, schafft keine Eindeutigkeit.
Das kann man rein graphisch verdeutlichen, wenn man den Zielpunkt [1,2] in ein Koordinatenkreuz einzeichnet. Startet man auf der x-Achse mit einem Winkel von 32 Grad, und ändert irgendwann die Richtung um 90 Grad, gibt es unendlich viele Startpunkte, die zum Zielpunkt führen.
wie mir gerade wieder eingefallen ist, nennt man das, was ich suche, die projektion des vektors w auf den vektor v.
womit ich auch bei google gleich fündig wurde:
https://elearning.physik.uni-frankfurt.de/data/FB13-PhysikOnline/lm\_data/lm\_8846/daten/teil\_9/node29.htm
Jetzt muss ich mir nur noch irgendwie das mit den einheitsvektoren, in eine bestimmte richtung zeigen, zusammenbauen, dann passt das
Geht es um Billard ? Beim Stoss einer Billardkugel ist der Startpunkt eindeutig vorgegeben.
Du normierst den Vektor x,y und den Vektor 1,2 , und dann nimmst du das Skalarprodukt zwischen den beiden.
hm, demnach wären alle Stoßversuche unmöglich.
Da die kugel trotz eindeutiger richtungen und geschwindigkeitsbeträge vor dem stoß nach dem stoß alles und nichts sein können.