Ableitungen?

Die Aufgabe lautet:

Prüfe, dass wenn

$x=\cosh\left(u\right)\ und\ y=\sinh\left(u\right)$

dann erfüllen x und y die Hyperbelgleichung

$x^2-y^2=1$ Ich habe mit sinh(u) = 1/2(e^u - e^-u) und cosh(u) = 1/2(e^u + e^-u) gerechnet,

bin aber nicht auf die Hyperbelgleichung gekommen, sondern auf e^-u = 1

Danke für Ihre Hilfe

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[PWolff]

Bist du sicher, dass du richtig ausmultipliziert hast / die binomischen Formeln richtig angewendet hast?

[usmi49]

Hallo PWolff,

ich habe 1/2(e...)^2 - 1/2(e...)^2 = 1 geschrieben, Quadratwurzel von beiden Seiten, bin auf

1/2(e^u+e^-u - e^u + e^-u) gekommen und am Schluss auf e^-u = 1

Answer 1

[evtldocha]

$x^2=\frac{1}{4}\left(e^u+e^{-u}\right)^2=\frac{1}{4}\left(e^{2u}+2e^{u-u}+e^{-2u}\right)\ =\frac{1}{4}\left(e^{2u}+2+e^{-2u}\right)$ $y^2=\frac{1}{4}\left(e^u-e^{-u}\right)^2=\frac{1}{4}\left(e^{2u}-2e^{u-u}+e^{-2u}\right)=\frac{1}{4}\left(e^{2u}-2+e^{-2u}\right)$

Damit (dass die Terme mit der Exponentialfunktion bei der Differenzbildung herausfallen sieht man sofort, da diese Terme in den beiden Termen für x² und y² mit positiven Vorzeichen erscheinen):

$x^2-y^2=\frac{1}{4}\left(2-\left(-2\right)\right)=\ \frac{1}{4}\cdot4\ =\ 1$

PS: Den Titel Deiner Frage verstehe ich allerdings nicht!

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[usmi49]

Danke evtldocha, sehr hilfreich, hatte alles falsch gemacht.

PS: Das Buch ist auf englisch und ich habe so gut ich konnte übersetzt, aber du hast mir die richtige Antwort geschrieben.