Ableitung transzendenter Funktionen, Anwendungsbeispiele?

Ableitung transzendenter Funktionen, Anwendungsbeispiele?

Hallo zusammen,

hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiter komme.

Bei Bedarf kann ich sie auch gerne übersetzen.

The curve formed by a uniform cable hanging from two points under its own weight is called the actenary. The eauation of this curve is: $y=\frac{H}{w}\cdot\cosh\frac{wx}{H}$

where w and H are constants. Show that the equarion of the catenary satisfies the equation $\frac{d^2y}{d^2x}=\frac{H}{w}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}$

Ich habe die erste und die zweite Ableitung dieser Gleichung berechnet und komme der Forderung der Aufgabe nicht näher.

$y'=\sinh\frac{wx}{H}$

$y''=\frac{w\cdot\cosh\frac{wx}{H}}{H}$

Besten Dank im voraus für eure Kommentare.

Answer 1

[Rammstein53]

Die Funktion f(x) = cosh(x) bildet wie exp(x) eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung:

$\frac{d^2}{dx^2}f\left(x\right)\ =\ f\left(x\right)$

Aus

$\frac{d}{dx}f\left(x\right)\ =\ \sinh\left(x\right)$

und

$\cosh\left(x\right)\ =\ \sqrt{1+\ \sinh^2\left(x\right)}\ =\ \sqrt{1\ +\ \frac{d}{dx}f\left(x\right)\cdot\frac{d}{dx}f\left(x\right)}$

folgt die gesuchte Gleichung.

Comments

[Rammstein53]

Danke für den Stern

[usmi49]

Hallo Rammstein53,

das hilft mir sehr, es ist eine der hier beantworteten Arten die Lösung zu erarbeiten, vielen dank für deine ausführliche Erklärung.

Answer 2

[JensR77]

Ich habe mir die Aufgabe angeschaut und bei mir kommt etwas anderes raus. Weiß nicht, ob der Fehler bei mir oder der Aufgabenstellung liegt. Hab da mehrmals drübergeschaut.

Zuerst einmal mache ich die Substitution u=H/w, damit es übersichtlicher wird, aber das ist natürlich nicht unbedingt notwendig.

Für die Ableitungsterme habe ich dasselbe raus wie du, nur eben mit der substituierten Variable:

$y'=\sinh\left(x/u\right);\ und\ y''=1/u\cosh\left(x/u\right)$

Die zu erfüllende Gleichung stellt sich dann wiefolgt dar:

$1/u\cosh\left(x/u\right)=u\sqrt{1+(\sinh\left(x/u)\right)^2}$

Die Gleichung (cosh(x))²-(sinh(x))²=1 gilt natürlich auch für das Argument ax oder x/u, woraus folgt:
$\sqrt{1+\left(\sinh\left(\frac{x}{u}\right)\right)^2}=\left|\cosh\left(\frac{x}{u}\right)\right|$

Der Kosinus hyperbolicus kann nur positive Werte annehmen, daher können wir die Betragsstriche weglassen.

Ich erhalte somit die Gleichung:

$\frac{1}{u}\cdot\cosh\left(\frac{x}{u}\right)=u\cdot\cosh\left(\frac{x}{u}\right)$

Das würde nur gelten, wenn u=±1, bzw. H=±w, wenn wir die ursprünglichen Variablen wählen.

Ich hab da wie gesagt ein paar Mal drüber geschaut. Weiß nicht, ob ich Tomaten auf den Augen habe, aber wenn nicht, dann würde die Kettenlinie (catenary, nicht actenary) diese Differenzialgleichung nicht erfüllen. 🤷🏽‍♂️

Comments

[usmi49]

Hallo JensR77,

da kann ich dir leider keine befriedigende Antwort geben, ich weiss nur, dass ich mit den Antworten hier oben meine aufgabe gelöst habe nach den Anforderungen des Buches.

Ich bin ein Hobbymathematiker und habe nicht das Niveau um mit zu reden. Vielleicht geben die Anderen dir eine Antwort auf dein abweichendes Ergebnis?

Auf jeden Fall, danke, dass du dir die Zeit nimmst. Schönes Wochendende.

[JensR77]

@usmi49

Man muss kein Mathe-Studium gemacht haben, um hier mitreden zu können. ;-)

Wie hast du die Aufgabe denn gelöst?
Würde mich mal interessieren, denn wenn die Katenoide die Differentialgleichung erfüllt, muss ich ja irgendwo einen Fehler gemacht haben.
Vielleicht finde ich das Problem, wenn ich mir eine andere Rechnung ansehe.

LG,
Jens

[usmi49]

@JensR77

Hallo JenR77,

anbei die Scans der Aufgabe 50, Vrderseite unten und Rückseite oben.

Ich weiss nicht ob es funktionniert mit den Scans?

Bitte melde dich wenn du die Scans nicht erhalten hast.

LG,

patrick

[JensR77]

@usmi49

Ich habe leider keine Scans erhalten. 😕

Es würde mich zwar wirklich interessieren, aber mache dir wegen mir keinen zu großen Stress.

[usmi49]

@JensR77

Keine Ursache, ich mache das gerne, ihr helft mir ja immer und noch freiwillig.

Ich dachte mir, dass die Scans nicht angekommen sind, weil ich sie auch nicht sehen konnte auf meiner gesendeten Nachricht.

Ich habe dem Administrator geschrieben um zu fragen warum diese Option nicht zu Verfügung steht und warte auf eine Antwort.

Heute Abend sende ich dir die Lösung auf die übliche Art.

[JensR77]

@usmi49

Super, danke! :-)

[usmi49]

@JensR77

Also

$y'=\sinh\frac{wx}{H}$ $y''=\frac{w\cdot\cosh\frac{wx}{H}}{H}$

$y'=\sinh\frac{wx}{H}$

=>

$y'=\sqrt{\cosh^2\left(\frac{wx}{H}\right)-1\ \ \ }=>\ \ y'^2=\cosh^2\left(\frac{wx}{H}\right)-1$

=>

$y'^{2\ }+1\ =\ \cosh^2\left(\frac{wx}{H}\right)\ \ \ =>\ \ \sqrt{y'^2+1}\ =\ \cosh\left(\frac{wx}{H}\right)$

=>

$y''=\frac{w}{H}\cdot\cosh\left(\frac{wx}{\left(H\right)}\right)\ \ =>\ \ y''=\frac{w}{H}\cdot\sqrt{y'^2+1}$

=>

$y''=\frac{d^2y}{d^2x}=\frac{w}{H}\cdot\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}$

was zu beweisen war.

[JensR77]

@usmi49

Vielen Dank, dass du dir die Mühe gemacht hast, mir die Lösung hinzuschreiben.

Ich sehe jetzt, wo das Problem ist.
Du schreibst ja am Ende:

$y''=\frac{d^2y}{d^2x}=\frac{w}{H}\cdot\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}$

was zu beweisen war.

Aber das ist nicht das, was in dem englischen Text nachzuweisen war!
Dort heißt es doch:

Show that the equarion of the catenary satisfies the equation

$\frac{d^2y}{d^2x}=\frac{H}{w}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}$

Der Faktor vor der Wurzel ist einmal w/H und das andere Mal H/w, also der Kehrwert!
Das ist genau das, was ich rausbekommen habe.

Also entweder hast du dich in dem englischen Text vertippt oder die Vorgabe ist fehlerhaft.

Ist ja auch egal. Aber ich bin froh, dass sich das jetzt aufgeklärt hat und beruhigt, dass ich das Rechnen doch nicht ganz verlernt habe! 😁

[usmi49]

@JensR77

Hallo JensR77,

ja, klar, das ist der Hacken, ich habe mich vertippt beim abschreiben der aufgabe, es sollte w/H stehen! Es tut mir so leid, all diese Umstände weil ich mich vertippt habe. Und im Nachhinein, beim Antworten auf die Kommentare habe ich nicht mehr ins Buch geschaut, sondern auf die abschrift der Aufgabe, hier oben und aarum den Tippfehler nicht bemerkt.

[JensR77]

@usmi49

Nicht so schlimm, ist jetzt ja alles geklärt.

Letztenendes war meine Rechnung ja fast mit der Musterlösung identisch, nur dass ich das Einsetzen des sinh unter die Wurzel unter Anwendung dieser Pythagoras-ähnlichen Formel (cosh²-sinh²=1) in einem Schritt gemacht habe und durch das Ersetzen von H/w durch u die Rechnung mMn etwas übersichtlicher geworden ist.

Das Wichtigste ist, dass du es auch verstanden hast. Ich denke, der Schlüssel zu der Aufgabe ist die eben erwähnte Formel, die ich ehrlicherweise auch nachgeschlagen habe. Ich habe so selten mit den Hyperbolicus-Funktionen zu tun, dass ich das nicht im Kopf habe.

Dann bis zu deiner nächsten Aufgabe! 😅

Answer 3

[gauss58]

y' = sinh(wx/H) = √(cosh²(wx/H) - 1)

√(y'² + 1) = cosh(wx/H)

y'' = (w/H) * cos(wx/H)

y'' = (w/H) * √(y'² + 1)

Comments

[usmi49]

Hallo gauss58,

das hilft mir, es ist eine der hier beantworteten Arten die Lösung zu erarbeiten, vielen dank.

Answer 4

[Lutz28213]

Hilft Dir vielleicht die Beziehung

ch(x)= Wurzel aus [1+sh(x)²]

Comments

[usmi49]

Hallo Lutz28213,

ja das hilft mir, es ist eine der hier beantworteten Arten die Lösung zu erarbeiten, vielen dank.