Ableitung transzendenter Funktionen, Anwendungsbeispiele?

Hallo zusammen,

hier kommt schon die nächste Aufgabe. Bei Bedarf kann ich sie gerne auf deutsch übersetzen.

Es ist eine Aufgabe die, laut Mathebuch, ein Anwendungsbeispiel von Ableitungen transzendenter Funktionen ist.

Ich habe die Aufgabe gelöst und die verlangte Graphik erstellt ohne Ableitung der transzendenten Funktion.

Zur Kontrolle meines Ergebnises habe ich doch eine Ableitung vorgenommen, aber die war nicht zwingend erforderlich um das richtige Ergebnis zu errechnen.

Meine Frage:

habe ich was übersehen?

Gibt es ein Lösungsweg über ein Ableiten der Funktion, um die in der Aufgabe verlangte Graphik zu erstellen?

Danke im voraus für eure Kommentare.

"A gutter is to be made from a sheet of metal 12 in. wide by turning up strips of width 4 in. along each side to make equal angles θ with the vertical.

Sketch a graph of the cross-sectional area A as a function of θ"

$A_{\left(θ\right)}=\ 2\left(\frac{1}{2}dh\right)+4h$

$d=4\sin\left(θ\right)$

$h=4\cos\left(θ\right)$

$A_{\left(θ\right)}=4\sin\left(θ\right).4\cos\left(θ\right)+4.4\cos\left(θ\right)\$

$=16\left[\sin\left(θ\right)\cos\left(θ\right)+\cos\left(θ\right)\right]$

Bedingung für θ $0°<θ<90°$

ich habe dann die verschiedenen Winkelgrössen in Zehnerschritten eingesetzt und die Graphik erstellt.

Meine Originalgraphik ist natürlich genauer, hier habe ich sie nur grob skizziert mit den wichtigsten Werten.

Zur Kontrolle und als Übung habe ich die Funktion abgeleitet und ausgeklammert.

$\left[2\sin\left(θ\right)-1\right]\left[-\sin\left(θ\right)-1\right]$

$2\sin\left(θ\right)-1=0\ \ \ \ \ \ =>\ \ \ \ \ \sin\left(θ\right)=\frac{1}{2}\ und\ \ \ θ=30°$

$-\sin\left(θ\right)-1=0\ \ \ \ \ \ =>\ \ \ \ \ \ \sin\left(θ\right)=-1\ \ und\ \ \ θ\ =\ -90°$

-90°scheidet aus und somit ergibt sich die grösstmögliche Fläche bei θ = 30°

was mit meiner Graphik übereinstimmt.

Comments

[Halbrecht]

in der aufgabe sehe ich nirgends die Frage nach Max ?

[usmi49]

Hallo Halbrecht,

ich weiss, es wird nur verlangt eine Graphik zu erstellen für die Fläche A als funktion von θ , aber warum diese Aufgabe im Kapit. "Ableit. transzend. Funkt."?

Answer 1

[Rammstein53]

Die Lösung ist richtig, lässt sich aber auch einfach berechnen:

A(x) = 16*(cos(x) + sin(x)*cos(x))

A'(x) = 16*(cos²(x) - sin²(x) - sin(x))

A' wird Null für:

cos²(x) - sin²(x) - sin(x) = 0

Auf beiden Seiten 2*sin²(x) addieren:

cos²(x) + sin²(x) - sin(x) = 2*sin²(x)

Wegen cos²(x) + sin²(x) = 1:

1 - sin(x) = 2*sin²(x)

Das ist eine quadratische Gleichung der Form:

2*x² + x - 1 = 0

Mit der Lösung:

x1 = -1, x2 = 1/2

-1 liegt nicht im Definitionsbereich, deshalb verbleibt sin(x) = 1/2 mit x = 30°

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[Rammstein53]

Danke für den Stern.

[usmi49]

Hallo Rammstein53

danke für deine Antwort,

deine Lösung zeigt mir einen anderen einfachen Weg das Max zu errechnen. (obwohl kein Max-wert verlangt wurde in der Aufgabe, sondern nur eine Graphik für die Fläche A in Abhängigkeit von θ. Ich habe es nur berrechnet, um meine graphische Lösung zu überprüfen).

Answer 2

[eterneladam]

Gibt es ein Lösungsweg über ein Ableiten der Funktion, um die in der Aufgabe verlangte Graphik zu erstellen?

Um die Lösung zu berechnen, nicht für die Grafik, brauchst du die Ableitung. Du hast einfach die Extremstelle aus der Grafik abgelesen, das ist keine exakte Berechnung und du hast hier einfach Glück gehabt, dass du mit deinen Zehnerschritten auf die Lösung gestossen bist, im allgemeinen wird dir das nicht gelingen.

Comments

[usmi49]

Hallo eterneladam,

danke für deine Antwort, deine Lösung zeigt mir einen anderen Weg das Max zu errechnen.

ich weiss, es wird nur verlangt eine Graphik zu erstellen für die Fläche A als Funktion von θ , aber warum diese Aufgabe im Kapit. "Ableit. transzend. Funkt."? habe ich mich gefragt und darum den Max Wert aus meiner Graphik abgelesen (ungefähr) und dann abgeleitet und den Max Wert ausgerechnet, um zu sehen, ob meine Graphische Lösung stimmen kann. (obwohl kein Max-wert verlangt wurde in der Aufgabe, sondern nur eine Graphik für die Fläche A in Abhängigkeit von θ).