Ableitung transzendenter Funktionen, Anwendungsbeispiele?

Hallo zusammen,

hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiter komme.

Bei Bedarf kann ich sie auch gerne übersetzen.

"A metal bracket in the shape of a Y is to be made such that its height is 10 in. and his width across the top is 6 in. What shape will require the least amount of material ?"

Also,

ich habe gesetzt: $x=\frac{3}{\sin\left(θ\right)}$ $y=10-x\cos\left(θ\right)$

dann bekomme ich $\frac{6+10\sin\left(θ\right)-3\cos\left(θ\right)}{\sin\left(θ\right)}$

das sollte ein Minimum an Material geben.

Muss ich die erste Ableitung berechnen und gleich 0 setzen?

Danke für eure Kommentare.

Answer 1

[JensR77]

Deine Formel für das Material erscheint mir korrekt.

Ja, für einen Extremwert musst du die 1. Ableitung berechnen und gleich 0 setzen.
Danach müsstest du eigentlich noch die 2. Ableitung berechnen und schauen, ob der diese für den ermittelten Winkel positiv oder negativ ist, um zu wissen, ob man es mit einem Minimum oder Maximum zu tun hat.
Im vorliegenden Fall kann man sich das möglicherweise sparen, wenn man sich das bildlich vorstellt.

Es ist außerdem noch sinnvoll, für θ nur Werte zwischen 0° und 90°, bzw. 0 und π/2 zu berücksichtigen, aber das weißt du ja wahrscheinlich selbst. 😉

Vom Ansatz her ist diese Aufgabe auch nicht anders als andere Extremwertaufgaben, in dem man quadratische Funktionen oder so hat. Dass hier die Variable ein Winkel ist, die in Sinus- und Kosinusfunktionen steckt, macht zwar den Rechenaufwand größer, aber sonst ist es das gleiche f'=0, f''>0 oder f''<0.

Comments

[usmi49]

Danke für deine Antwort, ich werde es so versuchen.

[JensR77]

@usmi49

Ich habe vorhin die Antwort von eternaladam gesehen und denke auch, dass der Weg über den Pythagoras und die normale Wurzelfunktion der einfachere Weg ist, aber wenn das Thema Ableiten transzendenter Funktionen sind, dann ist der Ansatz über den Öffnungswinkel wohl das, was man machen soll.

Ich habe das mal selber durchgerechnet. Das Ableiten an sich war nicht das Thema, aber als ich das Ergebnis gesehen habe, dachte ich mir erstmal, "oha, wie soll ich da die Nullstelle ohne den Herrn Wolfram Alpha finden?", dann hat sich die Sache aber doch einfacher rausgestellt, als ich befürchtet hatte, weil sich da was nett raushebt.

Also lasse dich von der Ableitung erst mal nicht abschrecken und melde dich gerne nochmal, falls du nicht weiterkommst. :-)

[usmi49]

@JensR77

OK, danke für den Hinweis, sobald ich das versucht habe melde ich mich.

[usmi49]

@usmi49

Hallo JensR77

ich erhalte

$\frac{3\sin\left(θ\right)+10\cos\left(θ\right)}{\sin\left(θ\right)}-\frac{\cos\left(θ\right).10\sin\left(θ\right)-3\cos\left(θ\right)+6}{\sin^2\left(θ\right)}$

und sollte vereinfachen auf

$-\frac{6\cos\left(θ\right)-3}{\sin^2\left(θ\right)}$

aber ich schaffe es nicht :(

[JensR77]

@usmi49

Ich muss noch mal mit dem Hund raus, schau mir das aber gerne an, wenn ich zurück bin.
Kannst du mir in der Zwischenzeit verraten, wie du die Formeln in die Kommentare reinbekommst? Wusste nicht, dass das hier geht.

[JensR77]

@usmi49

Ich sehe schon das erste Problem.
Du wolltest die Quotientenregel anwenden, oder?
Aber die passt hier überhaupt nicht.
Das sollte alles auf einem Bruch sein, dessen Nennner sin²(θ) ist und das, was bei dir der erste Bruch ist, müsste eigentlich ein Produkt sein (also "mal sin(θ)" statt "durch sinθ)"), welches Teil des Zählers ist.

[usmi49]

@JensR77

ich gehe zu meinem ersten Post (die Aufgabe), dann klicke ich am Ende der Aufgabe auf "Beitrag bearbeiten", dann popt ein Fenster auf mit zwei Optionen, "Beitrag korrigieren" und "Beitrag ergänzen". Ich wähle "Beitrag ergänzen", dann erscheint unter der letzten Zeile meiner Aufgabe wieder die Funktionszeile mit den Icons.

Da wähle ich "fx" und schon öffnet sich eine Zeile um die Formel einzugeben, wie beim Erstellen der ursprünglichen Aufgabe.

Wenn ich die Formel beendet habe klicke ich auf "speichern", dann erscheint sie unter der letzten Zeile der Aufgabe. Jetzt wähle ich "kopieren" und dann "einfügen" in meiner Kommentarzeile weiter unten.

[usmi49]

@usmi49

das hatte ich auch so, dann wollte ich es vereinfachen/umschreiben. Aber als ein Bruch komme ich auch nicht weiter, sprich

$\frac{\sin\left(θ\right)\cdot3\sin\left(θ\right)+10\cos\left(θ\right)-\cos\left(θ\right)\cdot10\sin\left(θ\right)-3\cos\left(θ\right)}{\sin^2\left(θ\right)}$ +6

die hatte ich vergessen im Zähler hier oben!

[JensR77]

@usmi49

So, bin wieder da und schau mir das jetzt mal an.
Mir ist beim Laufen auch klargeworden, dass du im ersten Term einen Sinus rausgekürzt hast und das deshalb auf zwei Brüche aufgeteilt hast. Sollte also doch OK gewesen sein.

[usmi49]

@JensR77

nimm dir Zeit, heute Abend ist langsam Schluss für mich.

[JensR77]

@usmi49

Danke für die Erklärung mit dem Einfügen der Formel. Mal schauen, ob das bei mir auch funktioniert.

Also eine Sache, die mir jetzt auffällt, wo du du das Ganze nochmal auf einen Bruch geschrieben hast, ist dass es so aussieht, dass du die Produkte immer nur auf den ersten Summanden anwendest. Ist das so?
Ich dachte beim ersten mal, du hättest einfach vergessen, eine Klammer zu setzen, aber wenn du die den Faktor nur auf den ersten Summanden anwendest, kann das natürlich nichts werden.

[usmi49]

@JensR77

OK, ich berechne es nochmal richtig und melde mich wieder.

[usmi49]

@usmi49

Hallo JensR77,

so jetzt habe ich es gerechnet mit dem Faktor auf alle Summanden angewendet

ich habe θ durch x ersetzt, weil einfacher zu schreiben.

und es sieht folgendermassen aus:

$\frac{\left\{\left[10\cos\left(x\right)-3\left(-\sin\left(x\right)\right)+0\right]\cdot\sin\left(x\right)\right\}-\left\{\left[10\sin\left(x\right)-3\cos\left(x\right)+6\right]\cdot\cos\left(x\right)\right\}}{\sin^2\left(x\right)}$ =

$\frac{\left[10\cos\left(x\right)\cdot\sin\left(x\right)+3\sin\left(x\right)\cdot\sin\left(x\right)\right]-\left[10\sin\left(x\right)\cdot\cos\left(x\right)-3\cos\left(x\right)\cdot\cos\left(x\right)+6\cos\left(x\right)\right]}{\sin^2\left(x\right)}$ = $\frac{\left[10\cos\left(x\right)\cdot\sin\left(x\right)+3\sin^2\left(x\right)\right]-\left[10\sin\left(x\right)\cdot\cos\left(x\right)-3\cos^2\left(x\right)+6\cos\left(x\right)\right]}{\sin^2\left(x\right)}$ = $\frac{3\sin^2\left(x\right)+3\cos^2\left(x\right)-6\cos\left(x\right)}{\sin^2\left(x\right)}=\frac{3\left[\sin^2\left(x\right)+\cos^2\left(x\right)\right]-6\cos\left(x\right)}{\sin^2\left(x\right)}$ = $\frac{3\left(1\right)-6\cos\left(x\right)}{\sin^2\left(x\right)}=\frac{-6\cos\left(x\right)-3}{\sin^{2\left(x\right)}}\ =>\ -6\cos\left(x\right)-3=0\$

-6cos(x)=3 6cos(x)=-3 cos(x)=-1/2 x=θ=120°

Stimmt das?

[usmi49]

@usmi49

ups bei der zweituntersten Zeile in der Mitte soll es heissen -Bruchstrich-6cos(x)-3 das ganze durch sin^2(x)

[JensR77]

@usmi49

Ich verstehe diese Korrektur nicht so ganz, aber in der zweituntersten Zeile hast du dich vertan, was sich auf das Endergebnis auswirkt. Sonst ist alles richtig.

[usmi49]

@JensR77

Vergiss die Korrektur, sie ist obsolet. Was ist mein Fehler in der zweituntersten Zeile?

[JensR77]

@usmi49

Aus dem Zähler 3(1)-6cos(x) machst du -6cos(x)-3, aber es muss +3 heißen.
Oder du ziehst ein Minus aus dem Zähler vor den Bruch, dann stimmt der Zähler, aber das Minus muss halt hin.

[JensR77]

@usmi49

Jedenfalls muss es am Ende heißen -6cos(x)+3=0, was letztenendes zur Gleichung cos(x)=+1/2 führt, nicht cos(x)=-1/2.
Dann bekommst du für den Winkel 60° raus, nicht 120°.
Sonst ist alles OK! 😀

[usmi49]

@JensR77

Genau, das war mein Kommentar als Korrektur, ist abe nicht so herausgekommen wie ich es wollte (das Minus welches vor den Bruchstrich sollte ist direkt nach dem Wort "heissen", statt unten vor dem -6

Aber ist das Ergebnis 120° richtig?

[usmi49]

@usmi49

OK, du warst schneller als ich und meine FRage ist somit beantwortet.Danke.

[JensR77]

@usmi49

Super!
Ich wünsche dir noch einen schönen Abend.
Was lange währt, wird endlich gut. 😉

[usmi49]

@JensR77

Ich hätee da doch noch ein Fragezeichen:

eterneladam bekommt als Ergebnis Wurzel aus 3, was ja 1,732 gibt. Aber 1,732 was? Rad. pi?...

[JensR77]

@usmi49

Ne, er hat ja hingeschrieben, dass er mit x die gestrichelte Dreieckshöhe bezeichnet. x ist ja eigentlich schon belegt, also wäre eine andere Bezeichnung (z oder so) besser gewesen.
Aber er hat die Länge der gestrichelten Linie ermittelt, und alle Angaben waren ja in der US-Spaßeinheit inches. 😉

[usmi49]

@JensR77

OK, d.h. es wären 1. 732 in. und mit dieser Länge und den 3 in. der anderen Seite hätte mann die Länge der Hypothenuse berechnen können und der Winkel hätte sich ergeben.

[JensR77]

@usmi49

Ich würde sagen, dass wir mit unserem Ansatz diese Rechnung nicht mehr machen brauchen, weil ja nach der shape gefragt war, mit der man das geringste Material braucht. Wenn auch nach der Gesamtmetallmenge gefragt wäre (die ja minimiert werden soll), müsste man noch das x in der Zeichnung ermitteln. (Was wie gesagt nicht identisch mit dem x bei eterneladam ist.)

Die Formel hast du ja schon ganz am Anfang selbst mit 3 in / sin(θ) ermittelt.
Die Länge, die eternaladam berechnet hat, würde man mit 3 in / tan(θ) bekommen. 3/tan(60°) sind genau die 1,73..., die er berechnet hat.

[JensR77]

@usmi49

und mit dieser Länge und den 3 in. der anderen Seite hätte mann die Länge der Hypothenuse berechnen können

Ja, aber die Hypotenuse braucht man nicht, wenn man nur den Winkel haben will. (Schadet natürlich nicht, die Hypotenuse auch zu kennen.)
Die 3 in sind ja die Länge der Gegenkathete, die √3 in die Länge der Ankathete, und damit kannst du den Tangens von θ berechnen:
3/√3=tan(θ)
Mit dem Arkustangens bekommst du dann den Winkel.

[usmi49]

@JensR77

Danke für deine Hilfe, jetzt lasse ich dich in Ruhe und wünsche dir auch einen schönen Abend.

[JensR77]

@usmi49

Kein Problem.
Freut mich, wenn ich dir helfen konnte und du das jetzt besser verstehst.

[usmi49]

@JensR77

Du hast mir au jeden Fall sehr geholfen und es macht Spass es zu vertehen. Die nächste Aufgabe kommt schon bald, vermute ich :) wenn ich den Text lese!

[JensR77]

@usmi49

Mal sehen, was als nächstes kommt! ;-)

Kannst mir gern ne PM schicken. Mir hat die Aufgabe echt Spaß gemacht.

[usmi49]

@JensR77

Habe Heute Nachmittag die nächste Aufgabe gesendet und habe schon drei Lösungsantworten erhalten.

Wenn du möchtest, kannst du auch einen Lösungsvorschlag machen, jede Option ist interessant für mich.

Was ist eine PM? Postmitteilung?

[JensR77]

@usmi49

PM steht für personal message, glaube ich. Ich habe schon die Kürzel PM, DM (direct message?) oder auch PN (persönliche Nachricht) gesehen. Gemeint ist, dass du mir eine Nachricht über die Postfachfunktion schicken kannst.

Ich habe mir die Aufgabe gerade mal angeschaut und bei mir kommt etwas anderes raus. Weiß nicht, ob der Fehler bei mir oder der Aufgabenstellung liegt.

Answer 2

[eterneladam]

Ja, das musst du. Du hast den gewünschten Ansatz mit dem Sinus gemacht, die Wurzelfunktion wäre von der Aufgabenstellung her wohl "verboten", führt aber vielleicht etwas einfacher zur Lösung,

wenn x die gestrichelte Dreieckshöhe ist,

d/dx ( 2 Wurzel(x^2 + 9) + 10 - x ) = 0

(2x)/Wurzel(x^2 + 9) = 1

x = Wurzel(3)

Comments

[usmi49]

Hallo eterneladam,

danke für deine Bemerkung.

Ja, ich denke auch, dass die Wurzekfunktion "verboten" ist, weil es soll ja eine Übung zum Thema "Ableiten von transzendenten Funktionen" sein.

Aber deine Antwort ist ein alternativer und einfacherer Lösungsweg, der für mich interessant ist um dazu zu lernen.