Ableitung?

Hallo,

hier eine Physikaufgabe in englisch:

"In optics, the index of refraction of a liquid is defined as $n=\frac{\sin\left(i\right)}{\sin\left(r\right)}$ where i is the angle at wich the light is incident on the liquid from the air, and r is the angle of the refracted light in the liquid.

If the angle of incidence is increasing at the rate of 0,05 rad/min., what is the rate of change of the angle r when i = 10° for benzene, for wich n is 150.

ich habe

$\frac{di}{dt}\ =\ 0,05\ \frac{rad}{\min}$

$\sin\left(10°\right)\ =\ 0,1736$ $\sin\left(r\right)\ =\ 0,\frac{1736}{150}\ =0,1157$

wie finde ich $\frac{dr}{dt}$

$\frac{dr}{dt\ }\ =\ \frac{\frac{di}{dt}}{\frac{dr}{dt}}\ ?$

Danke für eure Kommentare.

MfG

usmi

Comments

[verreisterNutzer]

for benzene, for wich n is 150.

... da hast Du wohl ein Komma vergessen.

[usmi49]

Hallo evtldocha,

ja, stimmt, da war ein kleiner Punkt und den habe ich nicht gesehen!

Answer 1

[GreenxPiece]

Du musst dr/di ableiten und dann mit dem Wert für di/dt multiplizieren.

dr/dt = dr/di * di/dt

Mit r = arcsin(sin(i)/n)

Mit n=1,5

dr/di = 2cos(i)/(4cos^2(i)+5)^(1/2)

Dann 10° einsetzen und mit di/dt (gegebene Änderungsrate von i nach der Zeit) multiplizieren.

Ergibt dr/dt = 0,033 rad/min

Comments

[usmi49]

Vielen Dank GreenxPiece,

ich hatte einen Knopf, habe dr/dt = di/dt * dn/dt geschrieben. Ich wusste das ist falsch weil dn/dt nicht geht.

[GreenxPiece]

@usmi49

Naja dn/dt kann man schon berechnen aber n ist halt konstant und damit dn/dt = 0. Musst halt schauen was ist gegeben und was ist gesucht. Damit kommst du dann auf dr/dt = dr/di * di/dt da ja di/dt gegeben ist und dr/dt gesucht.

[usmi49]

@GreenxPiece

Ja, genau, das meinte ich indirekt, weil mein di/dt * dn/dt Null ergeben hätte.

[usmi49]

@usmi49

Hallo GreenxPiece,

könntest du mir noch zeigen wie du r = arcsin(sin(i)/n) erhältst?

[usmi49]

@usmi49

sin(r) = sin(i)/n ; arcsin(r) = arcsin(sin(i)/n) ? und r = ?

[GreenxPiece]

@usmi49

sin(r) = sin(i)/n

arcsin(sin(r)) = arcsin(sin(i)/n)

Und arcsin(sin(r)) = r

arcsin ist die umkehrfunktion von sinus. Allgemein:

sin(a) = b

a = arcsin(b)

[usmi49]

@GreenxPiece

ok, habe mein Fehler gesehen. Richtig ist also arcsin(sin(r) statt arcsin(r). Danke, super!

[usmi49]

@usmi49

Also dr/di =d[arcsin(sin(i)/n)]/di = d[arcsin(sin(i)/1.5]/di =

2cos(i)/(4cos^2(i)+5)^(1/2)

Ich bekomme

d[arcsin(sin(i)/1,5]/di = d[arcsin(2sin(i)/3]/di =

1/[1-(2sin(i)/3)^2]^1/2 *d/di[2sin(i)/3] =

2cos(i)/{3[1-(4sin^2(i)/9)]^1/2}

wie kann ich das umschreiben auf 2cos(i)/(4cos^2(i)+5)^(1/2) ?

[GreenxPiece]

@usmi49

Naja kommt halt drauf an wie du ableitest. Ansonsten mit Satz des Pythagoras kannst du das sin^2 als 1-cos^2 schreiben und dann halt einfache bruchrechnung. Brauchst du aber ja gar nicht. Hauptsache du hast fehlerfrei abgeleitet. Den Rest macht ja eh dein tr

[usmi49]

@GreenxPiece

besten Dank