Ableitung?
Hallo, wie ist das gemeint?
gegeben ist eine Funktion f(x)=2^3 -0,5x^2. Führe eine funktionsuntersuchung durch. Ist damit gemeint , dass ich schauen soll, ob es wendepunkte und extrempunkte gibt?
Bestimme die wendenormalen von f(x)
Wie ist das gemeint?
Danke
Die Wendenormale ist orthogonal zur wendetangente? Was ist damit gemeint?
5 Antworten
Gegebn ist die Funktion:
f(x) 1/8x^3 - 3/4x^2
Berechne die Wendetangente und die Wendenormale.
Zuerst leiten wir ab:
f'(x) = 3/8 x^2 - 3/2 x
f''(x) = 3/4 x - 3/2
f'''(x) = 3/4
Bestimmung des Wendepunktes: f''(x) = 0
3/4 x - 3/2 = 0
3/4 x = 3/2
3x = 6
x = 2
f(2) = 1/8 * 2^3 - 3/4 * 2^2 = 1 - 3 = -2
Damit ist der Wendepunkt:
W(2/ -2)
Bestimmung der Steigung im Wendepunkt:
f'(2) = 3/8 * 2^2 - 3/2 * 2 = 3/2 - 3 = -1,5
Bestimmung der Wendetangente:
allgemeiner Ansatz einer Geradengleichung:
y = mx + b
m = -1,5:
y = -1,5x + b
Bestimmung von b durch Einsetzen des Wendepunktes (der muss ja auf der Wendetangente liegen):
-2 = -1,5*2 + b
b = 3 - 2 = 1
Damit:
Wendetangente g(x):
g(x) = -1,5x + 1
Bestimmung der Wendenormalen:
allgemeiner Ansatz:
y = mx + b
Die orthogonale Steigung ist der negative Kehrwert:
m = -1 / (-1,5) = 1/1,5 = 1 / (3/2) = 2/3
Damit:
y = 2/3 x + b
Wendepunkt einsetzen:
-2 = 2/3 * 2 + b
b = -2 - 4/3 = -6/3 - 4/3 = -10/3
Damit:
Wendenormale h(x):
h(x) = 2/3x - 10/3
Und so sieht das gezeichnet aus:
Führe eine funktionsuntersuchung durch. Ist damit gemeint , dass ich schauen soll, ob es wendepunkte und extrempunkte gibt?
Genau, allerdings gehören zur volllständigen Kurvendiskussion auch noch die Schnittpunkte mit der x- und der y-Achse dazu sowie die Steigung in den Wendepunkten. Eventuell kann man auch noch die Steigungen in den Schnittpunkten mit den Achsen ermitteln.
Die Wendenormale ist orthogonal zur wendetangente? Was ist damit gemeint?
Damit ist gemeint, dass die Wendenormale senkrecht zur Wendetangente steht und durch den Wendepunkt geht.
Die Wendetangente ist eine Geradengleichung mit der Steigung im Wendepunkt und durch den Wendepunkt.
Die Wendenormale ist eine Geradengleichung, deren Steigung der negative Kehrwert der Steigung der Wendetangente ist und ebenfalls durch den Wendepunkt geht.
Frage vorher:
Ist die Funktion wirklich f(x)=2^3 -0,5x^2 oder ist da ein Schreibfehler drin? Besonders fällt mir 2^3 auf. Da könnte man gleich 8 schreiben und dann hat die Funktion gar keinen Wendepunkt.
Ja hatte ein Fehler, deshalb nimm ich mal eine andere Aufgabe f(x)=1/8x^3 - 3/4x^2
Ok, ich mache das mal in einer neuen Antwort, da ich nur da auch Bilder einfügen kann.
Kann es sein dass es kein hochpunkt gibt bei f(x) 1/8x^3 - 3/4x^2
Hab jetzt als tiefpunkt (-4/4)
Wendepunkt (-4/4) R-L wendepunkt.
Als Nullstelle hab ich x1=6 x2=0
Hab ich was falsch gemacht?
Hab ich was falsch gemacht?
Offensichtlich. Wie du an dem Graphen oben erkennst, gibt es einen Hochpunkt bei (0/0) und das ist gleichzeitig eine doppelte Nullstelle.
Hab jetzt als tiefpunkt (-4/4)
Das stimmt.
Wendepunkt (-4/4) R-L wendepunkt.
Das kann nicht sein. Ein Wendepunkt kann nie identisch mit einem Tiefpunkt sein. Außerdem hatte ich den Wendepunkt schon mit W(2/-2) ausgerechnet.
Als Nullstelle hab ich x1=6 x2=0
Das stimmt.
Mit Funktionsuntersuchung wird wohl eine komplette Kurvendiskussion gemeint sein, d. h. Bestimmung der Definitions- und Wertemenge, Grenzwertverhalten, Null-, Extrem-, Wendestellen.
Und die Wendenormale ist die Gerade, die im Wendepunkt senkrecht (=orthogonal) zur Funktion steht.
Bist du dir sicher dass das die vollständige Funktionsgleichung ist und alle Klammern richtig gesetzt sind? Die Funktion im Bild hat nämlich keine Wendepunkte und damit auch keine Wendenormale.
War ein Fehler drin, nehme eine andere Aufgabe f(x)=1/8x^3 - 3/4x^2. Wie mache ich das jetzt mit der wendenormale?
Nullstellen würde ich auch noch hinzuziehen
Wie berechne ich die wendenormalen?