((2x+1)^2-1)/x wie bekomme ich die Stammfunktion?

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2 Antworten

Forme zuerst um, damit der Bruch verschwindet.

((2x+1)² - 1) / x

= ((2x+1)² - 1) * x⁻¹

Diese Umformung geht mithilfe der Potenzgesetze:

https://www.formelsammlung-mathe.de/potenzen.html

Ebenso im Bild markiert.

Auch solltest du die binomische Formel in den Klammern lösen.

(2x+1)² 

= (2x)² + 2*2x*1 + 1²

= 4x² + 4x + 1

Dann hätten wir also:

((2x+1)² - 1) / x

= (4x² + 4x + 1 - 1) * x⁻¹

= (4x² + 4x) * x⁻¹

Jetzt müssen wir die Klammer noch ausmultiplizieren, indem wir sowohl 4x² als auch 4x mit x⁻¹ multiplizieren. Dabei wenden wir dann wieder die Potenzgesetze an. Hier kommt folgendes zum Einsatz:

Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten addiert. 

Denk dran:

x = x¹

Das heißt: Wo kein Exponent steht, ist der Exponent eine 1. 

Da wir die Exponenten addieren, die eine Potenz aber im Exponent -1 hat, rechnen wir etwas + (-Zahl). Plus und minus wird wieder minus. Wird müssen also doch subtrahieren. Deswegen verschwindet bei 4x das x komplett. Hier rechnen wir 1 + (-1), was 1 - 1 und somit 0 ergibt. x⁰ = 1. 4*1 ist immer noch 4.

Nun wenden wir alles an:

(4x² + 4x) * x⁻¹

= 4x² * x⁻¹ + 4x * x⁻¹

= 4x + 4

Das heißt also:

► f(x) = ((2x+1)² - 1) / x

► f(x) = 4x + 4

Das ist ein und die gleiche Funktion!

Davon musst du nun die Stammfunktion bilden, was ziemlich einfach sein sollte.

f(x) = 4x + 4

F(x) = (4/(1+1))x² + 4x

F(x) = (4/2)x² + 4x

►► F(x) = 2x² + 4x

Das war es ! :)

Viel umformen, einfaches integrieren.

Liebe Grüße

TechnikSpezi

Potenzgesetze - (Schule, Mathe, Mathematik) Stammfunktion MatheBibel - (Schule, Mathe, Mathematik) Stammfunktion StudyHelp - (Schule, Mathe, Mathematik)

Hi GiddooDass,

Ich empfehle Dir, die Funktion erstmal etwas einfacher zu schreiben.

In etwa so:
((2x+1)²-1)/x = (4x²+4x+1-1)/x = (4x²+4x)/x = 4x+4

Und ich bin mir ziemlich sicher, dass Du f(x) = 4x+4 nun selbst integrieren kannst :)

Versuche am Besten immer zuerst, die Funktion in eine einfachere Darstellung zu bringen :-)

Ich hoffe dies hilft.

InOMatrixGF

GiddooDass 06.12.2017, 23:27

hat geholfen danke!

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