Da die Arbeit grob gesagt das Integral der Funktion für die Kraft ist, musst Du nur noch schauen, an welchen Grenzen Du das Integral bildest (das ist in dem Beispiel einmal untere Grenze 10 und obere 20, und einmal 30 und 40) und schauen, für welche verschiedenen Grenzen die Fläche unter der Funktion am größten ist (Da die Fläche gerade das Integral ist).

(Geundsätzlich gilt W = F * s für F konstant. Überlege mal, dass das Integral von einer Konstante F an den Grenzen 0 bis s genau F*s ist. Ist F von s abhängig, so ist allgemein W = int(F(s)ds))

Hi GiddooDass,

Ich empfehle Dir, die Funktion erstmal etwas einfacher zu schreiben.

In etwa so:
((2x+1)²-1)/x = (4x²+4x+1-1)/x = (4x²+4x)/x = 4x+4

Und ich bin mir ziemlich sicher, dass Du f(x) = 4x+4 nun selbst integrieren kannst :)

Versuche am Besten immer zuerst, die Funktion in eine einfachere Darstellung zu bringen :-)

Ich hoffe dies hilft.

InOMatrixGF

Hallo schereOO,

Um was für einen Abstand handelt es sich denn genau?

Und in welchem Vektorraum befinden wir uns? Im dreidimensionalen Raum?

Wenn die Fragen geklärt sind, kann ich Dir auch weiterhelfen ^^

LG InOMatrixGF

Hallo xprinzess0n,

Leider ist der Quader in der Abbildung nicht vollständig zu sehen. Ich bin mir ziemlich sicher, dass die Seitenlängen nicht a, b, c heißen, sondern dass c anders definiert ist.

Wenn Du mir die Seitenlängen des Quaders kurz nennst (wie sie in Fig. 2 stehen) kann ich Dir vielleicht weiterhelfen.

Mit freundlichem Gruß

InOMatrixGF

Hallo evelin2003,

Wenn sich das Hinterrad 1000mal umdreht, legt das Fahrrad 1000mal die gleiche Strecke zurück, nämlich genau die Strecke, dessen Länge dem Umfang des Reifens entspricht.

Nun musst Du also nur noch herausfinden, wie groß der Umfang des Reifens ist. Da Du ja den Durchmesser des Rades gegeben hast, kannst Du ganz einfach den Radius ausrechnen und dann den Umfang mit U = 2*Pi*r berechnen.

Dieses Ergebnis musst Du dann noch 1000mal nehmen, da das Fahrrad ja 1000mal diese Strecke zurücklegt.

LG InOMatrixGF

Hallo Bluebomber,

Ich gehe mal davon aus, sie solle ganzrational sein, dann würde ich Dir auf Anhieb einen Tipp zu diesen Punkten geben: schaue Dir mal die Differenzenquotienten an, also:

(2,5-2)/(1-0), (3-2,5)/(2-1), (3,5-3)/(3-2).

Fällt Dir etwas auf? Dann müsstest Du schon einen großen Schritt weitergekommen sein.

Wenn nicht, zeichne Dir mal ein Koordinatenystem und die vier Punkte ein, nehme Dir ein Lineal oder Geodreieck und Du wirst sehen, um was für eine Funktion es sich handelt.

Ich bin mir ziemlich sicher, dass Du diese Funktion nun selbst aufstellen kannst, :-)

MfG

InOMatrixGF

Hallo PimmlPete,

Schaue mal, es ist doch alles richtig:

f(x) = tan²(x)
f'(x) = 1/cos²(x)*tan(x) + tan(x)*1/cos²(x)
= 2 * tan(x) * 1/cos²(x)

Du hast eine Addition von zwei gleichen Termen, nämlich tan(x)*1/cos²(x), das ist nichts anderes als den Term mit 2 zu multiplizieren. ^^

Mit freundlichem Gruß

InOMatrixGF

Hallo Hannii111,

Die rationalen Zahlen, bezeichnet mit Q (eigentlich mit einem Doppel-Q, einfach mal googlen, wie das aussieht), sind definiert durch:

Q = {m/n | meZ, neN}
(,,e" ist das ,,Element von" Zeichen, Z sind die ganzen Zahlen und N die natürlichen Zahlen)

Falls Dir die Schreibweise nicht ganz geläufig ist, erkläre ich es Dir mal in Worten:

Eine Zahl ist rational, wenn Du sie in einem Bruch darstellen kannst.
Der Bruch muss aber zwei Eigenschaften haben:

• Der Zähler muss eine ganze Zahl sein, also ... -2, -1, 0, 1, 2, ...
• Der Nenner muss eine natürliche Zahl sein, also 1, 2, 3, ...

Damit ist Pi/2 natürlich keine rationale Zahl (genau wie charles2520 schrieb), denn Pi ist 3,14159..., also keine ganze Zahl.

Aber 5,2/3 ist eine rationale Zahl, denn: 5,2 = 1/5 * 26, also
5,2/3 = 1/5 * 26/3 = 26/15.
Also kannst Du 5,2/3 in einem Bruch 26/15 darstellen, und 26eZ, 15eN.

Ich hoffe ich konnte Dir damit helfen,

LG InOMatrixGF

Hallo Bella12121,

Ich bin mir nicht ganz sicher, was mit der Kraft gemeint ist. Ich gehe im Folgenden aber mal davon aus, dass genau die Kraft gemeint ist, die notwendig ist, um das Auto abzubremsen.

Ganz genau hängt diese Kraft natürlich von der Beschleunigung bzw. in dem Falle der ,,Bremsung" (also negative Beschleunigung) ab und dem Gewicht des Autos. Es gilt nämlich:

F = m * a

Da Kraft und Masse gegeben sind, kannst Du die Beschleunigung berechnen, mit der das Auto abgebremst wurde.

Nun fehlt noch die anfängliche Geschwindigkeit. Wir benötigen dazu zwei Formeln, es funktionieren (1) und (2), da es sich hier um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handelt:

(1) s = 1/2 * a * t²
(2) a = v / t

Die gesuchte Geschwindigkeit haben wir in (2). Um diese zu berechnen, benötigen wir a und t. die Beschleunigung haben wir ja zuvor ausgerechnet. Nun fehlt uns noch die Zeit, in der das Auto abgebremst wurde, und die erhalten wir aus (1). In (1) benötigen wir die Strecke, die bei der Bremsung zurückgelegt wurde, die ist aber durch die Aufgabenstellung gegeben. Und die Beschleunigung hatten wir ja berechnet.

Nun musst Du die Formeln nur noch umstellen, Du kannst dann entweder zuerst t in (1) berechnen und dann in (2) einsetzen, um dann v zu erhalten, oder beide Formeln direkt zusammensetzen, zB so:

s = 1/2 * a * t² <=> 2s / a = t² <=> t = Wurzel(2s/a)
in (2) eingesetzt:
a = v / t <=> v = a*t = a * Wurzel(2s/a) = Wurzel(2*s*a)

Dann kannst Du auch v berechnen.

Ich hoffe ich konnte Dir helfen,

LG InOMatrixGF

Hallo MustafaHmaid,

Wie Du aus der Aufgabenstellung sicher herauslesen kannst, weißt Du, dass v(1), ..., v(n) linear unabhängig sind. Das ist quasi Deine Voraussetzung, ich nenne sie mal V1).

Um xeK herauszubekommen (leider kann ich kein Lambda schreiben, wir nehmen stattdessen einfach die Bezeichnung x), hast Du die Behauptung, nämlich dass v(1)+v(2), ..., v(n-1)+v(n), v(n)+x*v(1) linear unabhängig ist für bestimmte x, diese nenne ich V2).

Ich habe ein Bild hochgeladen, in dem ich meine Ideen dazu aufgeschrieben habe, vielleicht helfen sie Dir ja weiter. Falls Du etwas nicht lesen kannst, sage mir einfach Bescheid.

Ich sage hier trotzdem nochmal, was ich eigentlich getan habe:
Ich habe angefangen zu behaupten, dass 
v(1)+v(2), ..., v(n-1)+v(n), v(n)+x*v(1) linear unabhängig sei, indem ich die Vektoren als Linearkombination geschrieben habe und diese gleich null setzte.

Nach ein paar Umformungen (auf dem Blatt ist es nur eine aus Platzgründen) habe ich diese dann in eine Form gebracht, sodass es eine Linearkombination von v(1), ..., v(n) wird. Da vorausgesetzt wird, dass diese Vektoren linear unabhängig sind, müssen deren Koeffizienten (x(1)+x(2) zB) null ergeben.

Nun muss man schauen, was man machen muss, damit man die ursprünglichen Koeffizienten (x(1), ..., x(n)) erzwingt, gleich null zu sein (sozusagen).

Dies tat ich mit einer Fallunterscheidung und habe dann bemerkt, dass ich die nur zur null erzwingen kann, wenn |x| ungleich 1 (also Lambda auf dem Blatt)

Hallo Einer1VonVielen,

x = 1 ist keine Nullstelle von f, aus zwei Gründen nicht.

1. die Definitionsmenge, die Du ja schon angegeben hast, ist
   D = R \ {-3, -1, 0, 1}, und die Definitionsmenge sind alle x-Werte, die Du in
   f(x) einsetzen darfst. Offensichtlich ist aber 1 kein Element von D
2. Die Definition einer Nullstelle lautet:
   Nullstellen von Funktionen sind x-Werte, die eingesetzt den Funktionswert null liefern. Setzen wir x = 1 in die Funktion ein, so erhalten wir:
   f(1) = (1-1)/(1²-1) + 2/(1+1) - (3+4*1+1²/(1²+3*1)
    = 0/0 + 2/2 - 8/4 = 0/0 - 1
   Und wir wissen, dass 0/0 nicht definiert ist, also ist f(1) nicht definiert, also ist f(1) auch nicht null.

Was sicherlich möglich ist, sich ein Grenzverhalten anzuschauen. Dann müsste man einen Limes bilden und schauen, wie sich die Funktionswerte verhalten, wenn x gegen 1 strebt. Oder anders was passiert mit dem Term
(x-1)/(x²-x) für x -> 1.

Du kannst den Bruch natürlich auch ,,kürzen" und dadurch den Definitionsbereich erweitern, dann ist zB:
(x-1)/(x²-x) = (x-1)/(x*(x-1)), dann kürzt sich der Term x-1 raus und es bleibt 1/x stehen.

Steht in der Aufgabenstellung jedoch nur, man solle die Nullstellen berechnen/angeben, dann ist x = 1 keine Lösung, da weder x ein Element der Definitionsmenge ist und somit keine Abbildung an dieser Stelle existiert noch f(1) = 0.

Mit freundlichem Gruß

InOMatrixGF

Hallo KV331,

Zunächst würde ich Dir raten, die Wahrscheinlichkeit für jedes mögliche Ergebnis zu notieren. Wenn die Zahl X markiert wird, so ist die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis P(X) (für X kommen nur 2, 3 oder die 6 infrage). Also:

• P(2) = 1/6 (da von 6 Sektoren nur einer das Ergebnis ,,2" liefert)
• P(3) = 2/6 = 1/3 (da von 6 Sektoren genau zwei das Ergebnis ,,3" liefern)
• P(6) = 3/6 = 1/2 (da von 6 Sektoren genau drei das Ergebnis ,,6" liefern)

Nun kannst Du die Aufgaben schonmal einfacher lösen.

a)
Das Rad wird zweimal gedreht. Dabei gibt es 9 verschiedene Kombinationsmöglichkeiten, nämlich {22, 23, 26, 32, 33, 36, 62, 63, 66}. Dabei steht die erste Zahl für das Ergebnis der ersten Drehung, die zweite für das der zweiten Drehung. Dann ist Die Wahrscheinlichkeit für XY:
P(XY) = P(X) * P(Y)

Beispiel:
36 bedeutet, dass zuerst eine 3 und dann eine 6 gedreht wurde, dann ist
X = 3 und Y = 6, P(XY) = P(36) = P(3) * P(6) = 1/3 * 1/2 = 1/6

Teil A
zwei gleiche Zahlen werden markiert.
Dann kommen nur die Ergebnisse 22, 33 und 66 infrage. Dann ist die Wahrscheinlichkeit:
P(A) = P(22) + P(33) + P(66)
= P(2) * P(2) + P(3) * P(3) + P(6) * P(6) = 7/18 = 38,89%

Teil B
die Summe der beiden Zahlen ist kleiner als 6 oder die Zahlen sind gleich.
Analog zu Teil A schaust Du, welche der 9 Kombinationen diese Bedingung erfüllen. Zum Beispiel:
36 keine gesuchte Kombination, da weder die Summe 3+6 kleiner als 6 ist noch sind die Zahlen 3 und 6 identisch.
66 ist eine gesuchte Kombination. Zwar ist die Summe nicht kleiner als 6, aber die Zahlen sind identisch.
23 ist auch eine gesuchte Kombination, da die Summe 2+3 kleiner ist als 6.
Wichtig: mit ,,oder" ist nicht nur ,,entweder ... oder" gemeint, sondern auch ,,und".

Sobald Du alle Kombinationen herausgefunden hast, gehst Du wie in Teil A vor, d.h.
P(B) = P(66) + P(23) + ... = P(6) * P(6) + P(2) * P(3) ... (Dein Ergebnis darfst Du gern hier posten, sobald Du etwas herausbekommen hast)

Teil C
die Zahlen sind verschieden und die Summe ist größer als 6
Hier suchst Du Dir nur die Kombinationen heraus, bei denen sowohl die markierten Zahlen verschieden sind als auch die Summe der beiden Zahlen größer ist als 6.
Ich bin mir sicher, das schaffst Du dann sogar schon allein, Du kannst gerne hier Dein Ergebnis posten, sobald Du etwas herausgefunden hast :-)

b)
Hier ist ein Mittelwert gefragt. Dieser wird berechnet, indem man die Trefferwahrscheinlichkeit für genau ein Ergebnis mit der Anzahl an Versuchen multipliziert.
Konkret heißt das hier:
Die Trefferwahrscheinlichkeit für genau ein Ergebnis ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem Mal eine 6 zu erwischen.
Die Anzahl an Versuchen entnimmst Du hier der Aufgabenstellung von b).

Multiplizierst Du die beiden Werte, erhältst Du den Mittelwert.

Ich hoffe ich konnte Dir helfen.

LG InOMatrixGF

Hallo 21jonsen,

1. Schritt
Als erstes rate ich Dir, die Gleichung umzuformen, konkret meine ich damit:
f(x) = -1/2 * (x+2) * (x-3) = -1/2x² + 1/2x + 3
Versuche das als Übung einmal nachzuvollziehen, Du musst dazu nur das Distributivgesetz anwenden können. ;)

2. Schritt
Leite die Funktion ab und berechne den Funktionswert sowie die lokale Steigung an der vorgegebenen Stelle 3. (bevor Du zur Lösung schaust, versuche es bitte einmal selbst)

Also erstens f(3) = 0
zweitens f'(x) = -x + 1/2, dann f'(3) = -2,5

3. Schritt
Setze nun die Werte in die allgemeine Tangentengleichung t(x) ein, die ist immer t(x) = f(w) + f'(w) * (x - w) (w ist die vorgegebene Stelle).

Also vorgegeben war die Stelle w = 3 (auch wenn bei Dir steht x = 3, w ist bloß eine andere Bezeichnung), dann ist:
t(x) = f(3) + f'(3) * (x - 3) = 0 + -5/2 * ( x - 3) = -5/2x + 15/2

Ich hoffe ich konnte Dir helfen.

LG InOMatrixGF

Hallo Vivien011.
Angenommen, Du hast eine Funktion f, die ein Wachstum beschreibt. Dann ist f

• linear genau dann, wenn sie in der Form f(x) = ax + b ist
• quadratisch genau dann, wenn sie in der Form f(x) = ax² + bx + c
  oder f(x) = a(x - d)² + e ist, wobei nicht a = 0. Dann besitzt f genau einen Scheitelpunkt (d | e), auch globales Maximum/Minimum genannt.
• exponentiell genau dann, wenn sie in der Darstellung f(x) = a * b^x ist
  und b > 1

LG InOMatrixGF