((1-i)/sqrt(2))^2022 umschreiben um reelteil und imaginärteil zu bekommen?

2 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

Mit der Polarform geht das schnell und ist auch eine klasse Übungsaufgabe für die Umrechnung von der algebraischen Form in die Polarform, wie auh die Berechnung vom Argument und Betrag einer komplexen Zahl:

(1 - i)^2022 = ?
z = 1 - i
z = |z| * e^{arg(z) * i}
z = sqrt(a² + b²) * e^{arctan2(b, a) * i}
a = 1, b = -1
z = sqrt(1² + (-1)²) * e^{arctan(-1, 1) * i}
z = sqrt(1 + 1) * e^{arctan(-1, 1) * i}
z = sqrt(2) * e^{arctan(-1, 1) * i}
z = sqrt(2) * e^{-45° * i}
z = sqrt(2) * e^{-45° * i}

(1 - i)^2022 = ? | 1 - i = sqrt(2) * e^{-45° * i}
(sqrt(2) * e^{-45° * i})^2022 = ?
sqrt(2)^2022 * e^{-45° * 2022 * i} = ?
sqrt(2)^2022 * e^{-9090° * i} = ? | e^{xi} = cos(x) + sin(x)i 
sqrt(2)^2022 * (cos(-9090°) + sin(-9090°)i) = ?
sqrt(2)^2022 * cos(-9090°) + sqrt(2)^2022 * sin(-9090°)i = ?

Re((1 - i)^2022) = sqrt(2)^2022 * cos(-9090°)
Im((1 - i)^2022) = sqrt(2)^2022 * sin(-9090°)
Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Mathematikstudium
Von Experte gfntom bestätigt

rechne in Polarkoordinaten, dann wird es ganz einfach.

Was genau ist mit Polarkoordinaten gemeint?

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@Kambotchs

Bringe die Zahl (1-i)/sqrt(2) in die Eulersche Form r·e^(iφ). r ist der Betrag und φ ist der Winkel zur reellen Achse. Zeichne dazu erst Mal die Zahl 1−i und berechne deren Betrag. Dann macht's hoffentlich „klick“.

Beim Potenzieren wird der Betrag r potenziert und der Winkel φ multipliziert. Das geht bei diesen Werten im Kopf.

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@ralphdieter

Wiie kann ich den Betrag davon berechnen? Müsste ich dafür nicht das zuvor umformen?

weil Betrag sagt ja imaginärteil hoch 2 plus reel Teil

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@Kambotchs
Wie kann ich den Betrag davon berechnen?

Mit Pythagoras.

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@gfntom

Danke, aber haben die Polardarstellung garnicht im Skript stehen, darf ich das dann trz nutzen?

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@Kambotchs

Bist du nicht der, der dauern andere Accounts nutzt, weil du die Passwörter vergisst? Dann hast du die Polarkoordinaten garantiert schon gehabt, weil du schon Mal was dazu gefragt hast.

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@Kambotchs
wie kommst Du darauf?

Ich verwende |z|=√(zz̅). Mit Pythagoras geht's natürlich auch.

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@Kambotchs
darf ich das dann trz nutzen?

Du kannst alternativ z² für z=(1−i)/√2 berechnen. Freu Dich dann über das schöne Ergebnis und berechne auch z⁴ und z⁸.

Und nun ein paar Potenzgesetze: z²⁰²² = (z⁸)²⁵²·z⁴·z² = ?

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... und dabei unbedingt das 1/Wurzel(2) drinnen lassen und nicht - wie in der Fragestellung angedeutet - "extra" verrechnen.

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