An die, die sich mit Physik auskennen: Liegt das an der Gravitationskraft, dass wir auf der anderen Seite der Erde nicht...?

Ja. Innerhalb der Erde wäre bei homogener Dichteverteilung und bei Vernachlässigung von Zentrifugal- und Corioliskraft die Gravitationskraft auf einen Körper proportional zum Abstand vom Mittelpunkt der Erde (vergleichbar mit einer idealen Feder).

Wir werden von der Erde, also von deren Mittelpunkt angezogen. Egal, wo man also auf der Erde steht, es fällt immer alles Richtung Erdmittelpunkt.

Zumal die Erde kein oben und unten hat.

Wirklich runter. Oben rein, unten raus. [Sagtest Du auf meine Rückfrage.]

Wie die Anderen schon erklärt haben, stimmt Deine bisherige Vorstellung davon, was "unten" und "runter" bedeutet, nicht mit der physikalischen Wirklichkeit überein. Unten geht es nicht raus, denn unten ist man im Erdmittelpunkt. Weiter runter geht es nicht, denn tiefer zieht die Schwerkraft nicht. Durchquert man die Erdkugel ab dem Mittelpunkt noch weiter, dann geht es zwar immer noch in die gleiche Richtung, aber entgegen der Schwerkraft, also wieder nach oben.

runterfallen, wenn wir uns bis ans andere Ende der Erde durchgraben würden?

Falls wir am anderen Ende des Loches runterfielen, dann dorthin wo die Schwerkraft uns dann hinzöge, also wieder zurück in das Loch.

runterfallen

unten ist immer Richtung Erdmittelpunkt. Dass auf Landkarten Süden unten ist, ist nur eine Konvention.

Wir können den Vorgang theoretisch, rein starr-mechanisch betrachten, ohne Berücksichtigung von Corioliskraft, Temperaturen, Luftreibung, Luftdruck, glühender zähflüssiger Magma und sonstigen Widrigkeiten:

Warum sollten wir nach der Ankunft an dem dem Startloch gegenüber liegenden Röhrenende nicht "herunterfallen"?

Wenn Du Dich an der Öffnung nicht festhältst, dann fällst Du natürlich "herunter", also zurück in Richtung Erdmittelpunkt, genauso wie jeder frei fallende Körper. Und nach dem Rückfall bis zur anderen Seite würde sich der Schaukelflug wiederholen.

Du würdest wie ein Uhrenpendel ewig hin und her schaukeln!

Und was soll die Frage "Liegt das an der Gravitationskraft?"

Woran sonst? Wie solltest Du ohne Gravitation in ein Bohrloch fallen?