Das ist nicht nur möglich, das ist seit einigen Jahren Pflicht.
Wenn Du es derzeit noch nicht bist, tätest Du gut daran, dich schnell um eine KV, wie das kurz genannt wird zu kümmern, denn wenn Du zum Bleistift unfallbedingt ärztliche Versorgung und gar einen KH-Aufenthalt hast, wirst Du als Privatpatient zur Kasse gebeten und meines Wissens zu allem Überfluss rückwirkend um Beiträge, was aber nicht zu Leistungen seitens der KV führt.
Du kannst Dich bei den sogenannten gesetzlichen KVs, einschließlich Ersatzkassen, versichern und natürlich auch privat. Letztere Variante ist allerdings mit Vorsicht zu genießen. Eintrittsalter, Vorerkrankungen, wie auch Leistungsumfang, die im privaten Bereich sehr unterschiedlich sind, wollen wohl abgewogen werden. Hier ist im Übrigen hinsichtlich der Vorerkrankungen alles wichtig. Es wäre jedenfalls alles andere als pfiffig, zu glauben, man könne das Unternehmen täuschen. Sollte sich das nämlich heraus stellen, kann das Unternehmen seine Leistungen versagen, was es dann in aller Regel auch tut.
Hinzu kommt, dass zumindest zu meiner aktiven Zeit im Versicherungsbereich, Tarife relativ häufig "reformiert" wurden. Das führte zur Schließung der bestehenden Tarife, die dann "ausbluteten". Das bedeutet soviel wie, es gab keine Neuzugänge mehr, weil diese Tarif schlicht nicht mehr angeboten wurden, was auf Dauer teuer für alle darin verbliebenden Versicherten wird, da diese Versicherungen aus den tariflich zuordnungsfähigen Beiträgen finanziert werden mussten. Wenn nun aber keine Neuzugänge mehr kommen, statt dessen sich das Durchschnittsalter und somit auch der Leistungsbedarf anhebt, sind Beitragserhöhungen unumgänglich - und das kann richtig teuer werden.
Du kannst ja zweigleisig fahren. Lasse dir Angebote von "Gesetzlichen" zu kommen und suche einen auf PKV (Private KV) spezialisierten Makler, denn das Gebiet ist irrsinnig groß. Dieser sollte auch schon länger am Markt sein, denn Erfahrungen mit den Versicherern sind bei diesem Thema Gold wert.