Zwei verschiedene Geradengleichungen einer Gerade angeben, die die Koordinatenachsen (3 Dimensional) beschreiben (7d)?
Was GENAU willst Du wissen? Deine Frage ist in sich etwas unklar. Beschreibe bitte mit mehr Worten, was Du suchst.
so lautet die Aufgabe die wir machen sollen. Leider habe ich es auch nicht verstanden. Also ich denke mal zu den Koordinatenachsen x,y und z soll ich etwas aufstellen
Ist das die vollständige Aufgabenstellung?
Ja :/
4 Antworten
Richtungsvektoren mit verschiedenen Orientierungen werden vermutlich nicht akzeptiert?
Du könntest die Koordinatenebene betrachten, die zur jeweiligen Koordinatenachse senkrecht steht. Auf diese Ebene projizierst du den Ortsvektor eines Punktes. Von dieser Projektion nimmst du die Länge - oder der Einfachheit halber das Längenquadrat. Die Koordinatenachse wird dadurch beschrieben, dass diese Länge 0 ist.
Vermutlich brauchst du eine Skizze, aber das ist im Moment nicht so ganz einfach.
Oder wir nehmen den Abstand von der x1-Achse. Der Abstand von
P = (x1 | x2 | x3)
von der x1-Achse ist
√(x2^2 + x3^2)
Dieser Abstand ist für alle Punkte auf der x1-Achse 0, und nur für diese Punkte.
Tut mir leid für die vielen Nachfragen aber wie genau würde man auf die Frage antworten also müsste ich dann einfach 3 Punkte suchen die jeweils auf den Achsen (x,x,z) sich befinden und dazu dann eine geradengleichung aufstellen?
Drei Punkte irgendwo auf den Achsen würden eine Ebene beschreiben, keine Gerade.
Die Punkt-Richtungs-Gleichung für jede Achse hast du schon aufgestellt, nehme ich an?
Achso und nein habe ich noch nicht 😬 soll man es tun?
Aber natürlich! Das ist ja eine der einfachsten Möglichkeiten, eine Geradengleichung aufzustellen!
Dazu kannst du den Ursprung (0 | 0 | 0) und einen beliebigen Punkt auf der Achse nehmen, am einfachsten
(1 | 0 | 0)
bzw.
(0 | 1 | 0)
bzw.
(0 | 0 | 1)
Okey also müsste ich für jede Achse zunächst einmal eine Punkt-Richtungs-Gleichung aufstellen und dann zu jeder der Gleichung eine Geradengleichung aufstellen? Und hätte ich dann die Aufgabe gelöst also müsste man so vorgehen?
Die Punkt-Richtungs-Gleichung ist eine Gleichung, die eine Gerade beschreibt. Damit ist die Punkt-Richtungs-Gleichung schon einmal ein (möglicher) Teil der Lösung.
Dann fehlt für jede Gerade noch eine zweite Gleichung. Dafür gibt es mehrere Möglichkeiten.
super erklärt aber leider bin ich nicht gerade begabt was Mathe betrifft :D
Kannst du dir eine höhenverstellbare Stehlampe vorstellen?
Am besten eine mit einer waagerechten Platte oben auf dem Schirm.
Jeden Punkt, der nicht zu weit vom Pfahl der Stehlampe entfernt ist, lässt sich mit dieser Platte erreichen.
Wenn der Punkt dann irgendwo mitten auf der Platte liegt, weit weg vom Pfahl, hat er ja einen ziemlich großen Abstand vom Pfahl. Wir können diesen Abstand z. B. mit Nord/Süd- und Ost/West-Koordinaten darstellen. (Am besten mal aufzeichnen in Aufsicht.) Das ergibt dann ein rechtwinkliges Dreieck (oder zwei), und der Abstand vom Pfahl lässt sich nach Pythagoras ausrechnen.
√(Nordabstand^2 + Ostabstand^2)
Wenn der Punkt direkt am Pfahl liegt, ist dieser Abstand natürlich 0.
Also √(Nordabstand^2 + Ostabstand^2) = 0.
Wenn wir jetzt den Pfahl die x3-Achse nennen, die Ostrichtung die x1-Achse und die Nordrichtung die x2-Achse, bekommen wir für die x3-Achse die Gleichung
Also √(Nordabstand^2 + Ostabstand^2) = 0.
Sehr gute Idee. Mach das und du wirst glücklich.
das war meine Frage.. kriege es leider nicht hin würd ja gerne
Da bin ich ganz sicher: Da steht keine Frage! Das ist ein reiner Aussagesatz, auch wenn GF automatisch ein Fragezeichen dahinter setzt.
Ups mein Fehler.. stelle das erste mal hier eine Frage rein sorry
Hat jemand vielleicht eine Ahnung wie man da vorgehen muss? Bräuchte dringend Hilfe
Aha, inzwischen hast du auch eine Aufgabe eingestellt. Die war bisher nicht zu sehen. Daher hast du nur kryptische Antworten bekommen, weil keiner wusste was du willst.
Eine Gerade ist immer durch einen Aufpunkt und einen Richtungsvektor festgelegt. Bei a) kannst du sowohl P oder Q als Aufpunkt nehmen und dann den Vektor von P nach Q (oder andes herum) als Richtungsvektor. Wenn du mitgedacht hast, weißt du, dass ich dir gerade vier Darstellungen der Gerade beschrieben habe.
Jetzt zur d): gemeint ist, dass du jeweils eine Achse (x-Achse, y-Achse, z-Achse) als Gerade auffassen sollst. Dann geht es wie oben. Einen Aufpunkt wählen - da kannst den Nullpunkt nehmen oder jeden anderen Punkt auf der Achse und als Richtungsvektor jeden Vektor vom Nullpunkt zu irgend einem Punkt auf der Achse .
Klar? Melde dich, wenn ich es zu kompliziert beschrieben habe.
Zunächst: Eine Geradengleichung kann nur eine der drei Koordinatenachsen beschreiben. Wenn du Gleichungen für alle drei Koordinatengleichungen brauchst, wirst du für jede Achse andere Gleichungen aufstellen müssen.
Geradengleichungen im dreidimensionalen Raum sind Vektorgleichungen. Für eine Gerade brauchst du immer einen dreidimensionalen Stützvektor und einen dreidimensionalen Richtungsvektor. Der Stützvektor ist ein Ortsvektor, der auf einen Punkt der Geraden zeigt. Da eine Gerade unendlich viele Punkte hat, hast du zwischen unendlich vielen Stützvektoren die Wahl.
Den Richtungsvektor kannst als Vektordifferenz zwischen zwei verschiedenen Stützvektoren erhalten. Wenn es um die Koordinatenachsen geht, kannst du dir diese Rechnung allerdings sparen, da die Richtungsvektoren der Koordinaten bekannt sind.
Den Richtungsvektor multiplizierst du mit einem reellen Parameter, um die Punkte der Geraden zu erhalten.
Stelle nun Geradengleichungen für die x-Achse. Da die x-Achse durch den Ursprung des Koordinatensystems geht, ist es möglich, den Ursprung als Stützpunkt zu wählen; zu diesen Punkt ist der zugehörige Ortsvektor gerade der Nullvektor. Als Richtungsvektor verwendest du den Einheitsvektor (1, 0, 0) längs der x-Achse.
Du erhältst die Geradengleichung
Den Vektor solltest du natürlich als Spaltenvektor schreiben, das kriege ich mit dem Formeleditor leider nicht hin.
Laut Aufgabe sollst du zwei verschiedene Geradengleichungen für die x-Achse angeben. Du hast zwei Möglichkeiten: Einen anderen Stützvektor zu wählen oder einen anderen Richtungsvektor. In der folgenden Gleichung mache ich beides:
Hier ist der Stützvektor (3, 0, 0); dieser Punkt liegt auf der x-Achse, weil die y-Koordinate und die z-Koordinate jeweils den Wert 0 haben. Der Vektor (-2, 0, 0) ist kollinear zu (1, 0, 0) und daher ebenso wie (1, 0, 0) ein Richtungsvektor der x-Achse.
Für die y-Achse und für die z-Achse kannst du ganz ähnliche Gleichungen aufstellen. Denke daran, dass
- ein Richtungsvektor der y-Achse (0, 1, 0) ist (als Spaltenvektor zu schreiben)
- ein Richtungsvektor der z-Achse (0, 0, 1) ist (als Spaltenvektor zu schreiben)
Du kannst versuchen, die Gerade zuerst in der XY-Ebene abzubilden und dort ihre Funktionsgleichung bestimmen. Dann wechselst Du die Perspektive und bildest sie in der XZ-Ebene ab (...). Der Übung halber könntest Du sie noch in der YZ-Ebene abbilden.
Für eine exakte Beschreibung reichen zwei der drei möglichen Projektionen.
Zunächst einmal vielen Dank für deine Antwort! Wie genau würde man eine Funktionsgleichung dazu aufstellen?
Vielen Dank für die Antwort und leider habe ich es noch nicht so ganz verstanden. Vermutlich müsste ich mir das mal nochmal so richtig gründlich erklären lassen aber ansonsten vielen Dank!