Zwei mal die selben globalen maxima?
Hallo,
wenn ich 2 mal als maixmum im gesamten intervall einer funktion zb einmal (0,5) und einmal (5,5) habe ,kann man dazu noch globales maximum sagen?
weil es ja 2 stellen gibt an den die funktion auf der y achse bei 5 ist?
habe ich dann 2 globale maxima oder exisiter einfach keins?
2 Antworten
Gute Frage. Ich kenne die Definition nicht, aber ich kann dir sagen, wie ich nach meinem mathematischen Verständnis argumentieren würde:
In deinem Beispiel würde ich folgende Antwort geben: Das globale Maximum liegt bei y=5. Es tritt an den Stellen x=0,5 und x=5,5 auf.
Stell dir vor, du fährst eine Strecke mit dem Auto. Nach deiner Fahrt wirst du gefragt: Was war die höchste Geschwindigkeit, mit der du gefahren bist? Wenn du zweimal die Höchstgeschwindigkeit (z.B. von 150 km/h) erreicht hast, einmal nach 10 Minuten Fahrt und einmal nach 20 Minuten Fahrt, wirst du nicht antworten "Es hab keine Höchstgeschwindigkeit". Du wirst sagen "150 km/h war meine Höchstgeschwindigkeit." Und auf Nachfrage wirst du vielleicht noch sagen "Zum ersten mal habe ich die Höchstgeschwindigkeit nach 10 Minuten Fahrt erreicht und zum zweiten und letzten mal nach 20 Minuten."
Nach diesem Schema ist meine Antwort oben auch aufgebaut. Wie gesagt: Ich weiß nicht, ob es dafür in der Mathematik eine fixe Definition gibt. Aber ich halte diese Antwortmöglichkeit für sinnvoll.
Danke für die Ergänzung. Dann war mein Gespür für die Mathematik in diesem Fall nicht ganz falsch. ;-)
" In deinem Problem sind (0|5) und (5|5) globale Maxima."
NEIN !
Globales Maximum ist nur der (einzige) maximale y-Wert, also die Zahl 5 .
Die Punkte (0|5) und (5|5) sind nicht globale Maxima, sondern einfach zwei verschiedene Punkte des Graphen von f , in welchen der Funktionswert dem globalen Maximalwert der Funktion f entspricht.
Man beachte bitte noch den feinen, aber wichtigen Unterschied:
"(x|y) ist ein globales Maximum"
ist nicht dasselbe wie
"(x|y) ist ein Punkt globalen Maximums" !
wenns sich um eine Funktion der Form ƒ : X ⟶ Y handelt, und Y mit einer (ggf. partiellen) Ordnungsrelation versehen ist, kann man natürlich zwischen den Maximum-Werten von ƒ (= {y ∈ Bild(ƒ) | y ein Maximum in Bild(ƒ)}) und Maximum-Punkten von ƒ (={(x,y) ∈ Gph(ƒ) | y ein Maximum in Bild(ƒ)}) unterscheiden.
Der Unterschied ist aber nicht sehr groß, denn häufig interessiert man sich nicht nur für den Wert eines Maximums, sondern auch die Punkte, wo dies realisiert wird (vgl. max und arg max).
Du hast ein globales Maximum, das an mehreren Orten auftaucht. Maximum bezieht sich ja nicht auf den konkreten Punkt, sondern auf den (Funktions-)Wert.
Siehe auch die formale Definition.
Um das noch kurz zu verdeutlichen, ein globales Extremum liegt genau dann vor, wenn der Funktionswert eiens Punktes x_0 größer/kleiner oder gleich der Funktionswerte ist, man beachte, daß Gleichheit eingeschlossen ist.
Du findest also mehrere Extrempunkte, die den gleichen Extremwert aufweisen und dieser Wert ist natürlich global betrachtet immernoch ein Maximum/Minimum.
Mist, war zu lahm beim korrigieren:
größer/kleiner oder gleich der Funktionwerte aller (anderen) Punkte ist.
Sei ƒ : X⟶IR eine Funktion.
Definition von globalem Maximum: (x|y) ∈ Gph ƒ (entsprechend y∈Bild ƒ) ist ein Punkt globalen Maximums gdw. y ≥ y' für alle y' ∈ Bild ƒ.
Nichts in der Definition verlangt Eindeutigkeit. In deinem Problem sind (0|5) und (5|5) globale Maxima. Manchmal ist es extrem nützlich zu wissen, ob das gl. Maximum eindeutig ist, dennoch bleiben alle Punkte, die das Funktionsmaximum realisieren globale Maxima genannt.