Zusammenhang zwischen f und f' - Brauche schnell Hilfe!
Hallo,
ich schreibe morgen eine wichtige Matheklausur, in der ich auch den Zusammenhang
zwischen f und f' beschreiben muss. Wir haben nur eine Tabelle gemacht, wenn
bei f (x) ein Extremum ist, muss bei f' (x) eine Nullstelle sein, wenn bei f (x) ein Wendepunkt
ist muss bei f' (x) ein Extremum sein, wenn bei f(x) x³ steht muss es bei f' (x) 2 Nullstellen
geben, und wenn die Funktion auf ax endet muss bei f ' (x) ein Punkt 0 sein, aber WARUM ?
Weder Google noch Wikipedia hat mir geholfen, da dort alles viel zu kompliziert für mich
erklärt war. Brauche die Antwort möglichst schnell! :(
4 Antworten
Das hat immer was mit der Steigung zu tun. f'(x) sagt die wie steil es bei diesem x bei f(x) ist. Jede Stelle bei f(x) hat also ne Steigung. Wenn f'(x) = 0, heißt das, dass die Steigung bei diser Stelle gleich Null ist. Das heißt wiederum, dass es ein Extremum sein muss, weil nur ein Extremum eine Steigung von Null hat.
Wendepunkt ist der Punkt mit der höchsten/ kleinsten Steigung. Das heißt f'(x) muss maximal sein (da es ja die höchste und niedrigste Steigung anzeigt)
Hier ist ein kleiner Fehler enthalten: Dass die Ableitung 0 ist, bedeutet noch nicht, dass f an der Stelle ein Extremum hat! Man sagt auch: Die Bedingung f' = 0 ist für eine (lokale) Extremstelle bei f notwendig, aber nicht hinreichend! Hinzu kommt noch, dass die 2. Ableitung nicht auch 0 ist bzw. dass f' an dieser Stelle einen Vorzeichenwechsel erfährt!
Ein Gegenbeispiel für die Behauptung, dass nur ein Extremum eine Steigung von 0 hat, ist die Funktion f(x)=x³ an der Stelle x=0.
Also f' gibt die Steigung in einem bestimmten Punkt von f an. Wenn ein Extrempunkt vorliegt ist die Steigung an diesem Punkt 0 darum ist f' 0. Den Rest mussten wir nie begründen.
hallo,
f(x) ist eine funktion (meist gegeben)
f'(x) ist deren ableitung, sie gibt dir die steigung in jedem punkt von f(x) an!!
das mit der ax-Endung: wahrscheinlich meinst du eine gerade mit der form f(x) = ax + b dies ist eine gerade und für a =/ 0 ist f(x) genau 1x null
"Wenn f(x) x^3 dann f'(x) 2 Nullstellen" -> falsch
Es ist nicht falsch, nur unvollständig. Eine Funktion ~ x³ hat maximal 2 Nullstellen in der ersten Ableitung
f(x)= AX³+Bx²+Cx+d -> max 3 NS f'(x)= 3Ax²+2Bx+c -> max 2 NS f''(x)= 6Ax + 2B -> max 1 NS