Woran kann man erkennen ,dass ein Würfel gezinkt ist?
Wir schreiben nach den Ferien eine Mathematik Arbeit .Dort wird das Thema wahrscheinlichkeitsrechnen vorkommen. Woher weiss man ob ein Würfel gezinkt ist???
7 Antworten
Die erste Möglichkeit ist erstmal zu gucken, ob der Würfel wirklich gleichverteilt ist. Wenn jede Augenzahl Wahrscheinlichkeit 1/6 hat, ist das schon einmal ein Indiz für Zufälligkeit, aber der Würfel kann trotzdem gezinkt sein. Folgt der Würfel der Zahlenfolge 1-2-3-4-5-6-1-2-.., dann ist der Würfel gleichverteilt, aber nicht zufällig, da die Augenzahl eindeutig vorhersagbar ist aus der Wurfnummer modulo 6.
Für solche Sachen gibt es Tests, man kann sich zum Beispiel die Abweichung angucken und findet durch Untersuchung, dass diese sich in einem bestimmten Bereich bewegen muss. Eine gleichverteilte Münze wird Wahrscheinlichkeiten 50%/50% haben, allerdings ist es ziemlich unwahrscheinlich, dass die Anzahl an Kopfwürfen die Anzahl an Zahlwürfen sein wird, die Differenz aus Kopf- und Zahlwürfen wird im Bereich Wurzel(n) erwartet. Für groß genügende n gilt n/Wurzel(n) -> 0, also wird die Wahrscheinlichkeit immernoch 50%/50% bleiben, aber die Differenz zwischen Kopf- und Zahlwürfen wird beliebig groß werden und beliebig oft positiv oder negativ sein.
Es gibt sehr viele Methoden, zu prüfen, ob ein Ergebnis wirklich zufällig ist, allerdings kann man sich nie sicher sein, denn das Ereignis 1-2-3-4-5-6 bei 6 Würfen ist genauso wahrscheinlich wie das Ereignis 2-5-5-1-2-5, allerdings ist es eher unwahrscheinlich, dass man Muster erkennt, hier kann man wenn man es wirklich übertreiben will Dinge wie die Kolmogorow-Komplexität ins Spiel bringen, diese ist nicht berechenbar, aber man kann Heuristiken verwenden, um Computer Formeln für eine Folge an Ereignissen suchen zu lassen, das eventuelle Finden und die Komplexität dieser Formel gibt Aussagen über die Zufälligkeit der Folge aus, du siehst hier eine große Verwandtschaft zur Forschung in der künstlichen Intelligenz. Diese Verwandtschaft ist nicht nur einfach so da, sie wird aktiv genutzt vor allem in der Computersicherheit (siehe Pseudozufälligkeit und ihre Tücken) und der Finanzwelt (ist unser Börsengang wirklich zufällig, lässt sich der Wert einer Aktie voraussagen und wie genau ist diese Aussage, dies wird meist nicht nur durch pure Rechnungen ausgerechnet sondern mit intelligenten Maschinen simuliert).
LG
Wenn ein Würfel in dem Muster 1-2-3-4-5-6-1-2-3-4-5-6-usw. Augenzahlen ausspuckt, ist er gezinkt. Ich muss ja als Betrüger nicht immer auf dieselbe Augenzahl wetten, ich muss nur vorher wissen, was gewürfelt wird, und so weiß ich es. Das Problem ist, dass hier die Häufigkeit nicht die Wahrscheinlichkeit ist.
Das ist ja das Dilemma mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Man weiß es nie mit Sicherheit.
Man kann es nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit vermuten.
Selbst wenn man tausendmal mit dem vermeintlich gezinkten Würfel würfelt.
In vielen Würfelspielen ist die Augenzahl 6 von besonders hohem Wert.
Wenn du nun in einem Würfelspiel mit einem Würfel konfrontiert wirst von dem du den Verdacht hat, dass zum Beispiel die 6 deinem persönlichen Empfinden nach besonders häufig fällt, dann könntest du diesen Würfel testen.
Normalerweise beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem perfekten, ungezinkten Würfel die 6 fällt p = 1 / 6
Für deinen Test musst du erstmal eine von dir gewählte Irrtumswahrscheinlichkeit wählen, dabei wird in der Regel / am häufigsten 0.001 % | 0.01 % | 0.1 % | 1 % | 5 % | 10 % gewählt.
Auf gar keinen Fall darf die Irrtumswahrscheinlichkeit auf 0 % gesetzt werden, denn das gibt es nicht.
Danach musst du wählen, wie häufig du den Würfel zu deinen Testzwecken würfeln willst, dass sollte mindestens 1000 mal sein.
Man kann dann die Binominalverteilung sehr gut durch die Normalverteilung ersetzen.
Nun brauchst du eine Tabelle für gaußsche Summenfunktion, wenn du keine
umfangreiche und sehr gute Tabelle finden kannst, dann kannst du dass
auch über dieses Integral berechnen lassen -->
1 / √(2 * pi) * ∫ e ^ (- (1 / 2) * t ^ 2) * dt von Minus Unendlich bis x
Nun wird x so berechnet, dass das Integral als Wert (1 - Irrtumswahrscheinlichkeit) ergibt.
Ich habe es dir mal ausgerechnet für die Irrtumswahrscheinlichkeiten 0.001 % | 0.01 % | 0.1 % | 1 % | 5 % | 10 %
Hier noch mal als schnelle, handliche Tabelle -->
Irrtumswahrscheinlichkeit in % | Sigma
0.001 | 4.27
0.01 | 3.72
0.1 | 3.0903
1 | 2.32636
5 | 1.64485
10 | 1.281554
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Wenn du jetzt als Irrtumswahrscheinlichlkeit 1 % wählst und entscheidest 1000 mal zu würfeln, dann ist -->
n = 1000
Sigma = 2.32636
p = 1 / 6
Es muss folgende Bedingung erfüllt sein -->
√(n * p * (1 - p)) > 3
Wenn das der Fall ist, dann kann die Normalverteilung anstelle der Binominalverteilung benutzt werden !!
√(1000 * (1 / 6) * (1 - (1 / 6))) = 11.785
Das ist also in diesem Fall sehr gut erfüllt.
k = Sigma * √(n * p * (1 - p)) + n * p + 1 / 2
(Diese Formel brauchst du !)
k = 2.32636 * √(1000 * (1 / 6) * (1 - (1 / 6))) + 1000 * (1 / 6) + 1 / 2
k = 194.5831
Das rundet man jetzt noch ab, also -->
k = 194
Ergebnis -->
Wenn du den zu testenden Würfel 1000 mal würfelst, und dabei MEHR ALS 194 mal die 6 gewürfelt wird, dann kannst du den Würfel als gezinkt bezeichnen,
mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 %, dass du dich mit deiner Aussage, dass der Würfel gezinkt ist, irrst, und er stattdessen doch nicht gezinkt ist.
Bemerkenswert ist evtl. noch, dass man so zwar (mit kleiner Irrtumswahrscheinlichkeit) "nachweisen" kann, dass ein Würfel gezinkt, nicht aber, dass er "echt" ist.
Ein Würfel hat (idr) 6 zahlen
die Warscheinlichkeit das du die 1 Würfest liegt bei 1/6 also 16.6666...66 %
wenn du jetzt 50x würfelst
hast du im schnitt theoreitsch 8x die 1 gewürfelt ca.
solltes du dann jetzt 20x die 1 gewürfelt haben, kann man davon theoretisch ausgehen, das die 1 gezinkt ist.
Schau dir mal den Bereich Hypothesentest, Signifikanzniveau oder Konfidenzintervall an. Was für dich passt musst du aufgrund deines Schulstoffes entscheiden.
Wenn jede Augenzahl Wahrscheinlichkeit 1/6 hat, ist das schon einmal ein
Indiz für Zufälligkeit, aber der Würfel kann trotzdem gezinkt sein.
??? Wenn jede Augenzahl die Wahrscheinlichkeit 1/6 hat, ist der Würfel sicher nicht gezinkt. Problematisch ist, das nachzuweisen.