Woher weiß ich was ich einfach so streichen kann?

3 Antworten

Für betragsmäßig große Werte "bestimmt der größte Exponent die Richtung"

Und y bleibt ja fest.

Im ersten Beispiel trägt der Teil mit y nichts für das Grenzverhalten bei, da der Term mit x gegen unendlich geht und der Gesamtterm daher unabhängig von jedem festen y ebenfalls.

Im zweiten Beispiel gilt dass nur die jeweils höchste Potenz im Zähler und im Nenner relevant für das Konvergenzverhalten gegen + oder - unendlich ist. Alternativ kannst du auch den gesammten Bruch durch die höchste Potenz (also x^4) kürzen. Dann steht da

Bild zum Beitrag

Die Teilterme mit x im Nenner gehen gegen 0, übrig bleibt 5/10 = 1/2.

 - (Funktionsgleichung, Grenzwert)
Von Experte DerRoll bestätigt

Im ersten Fall spielt der konstante Wert 10y² keine Rolle, wenn der andere Wert unendlich groß wird - genauso bei den kleineren Potenzen im zweiten Fall.

Mit Zwischenschritten würde man die höchste x-Potenz ausklammern, dann laufen die Konstante bzw. die kleineren Potenzen "automatisch" gegen Null:

lim -4x³+10y²=lim x³(-4+10y²/x³).

Läuft jetzt x gegen +/- - unendlich, läuft 10y²/x³ gegen Null (Nenner wird immer größer bei konstantem Zähler, also wird der Bruch immer kleiner) und es bleibt lim -4x³ übrig.

Fall 2: lim (...) = lim (x^4*(-4x³/x^4+5)/(x^4(10-x²/x^4))
x^4 kann man kürzen: = lim(-4/x+5)/(10-1/x²)
läuft x gegen unendlich, fallen die Brüche mit x im Nenner wieder weg:
= lim (5/10)=1/2