Wie zeige ich dass die geraden ein dreieck bilden?
2 Antworten
Hallo,
natürlich kannst Du jeweils zwei Geraden gleichsetzen und sehen, ob sie einen Schnittpunkt haben, denn wenn sie sich paarweise schneiden, bilden sie sicherlich ein Dreieck.
Ich persönlich wäre dazu ehrlich gesagt zu faul.
Meine Methode:
Ich bilde aus den Richtungsvektoren zweier Geraden das Kreuzprodukt und prüfe, ob es nicht den Nullvektor ergibt, denn dann wären diese beiden Geraden parallel oder antiparallel zueinander und das mit dem Dreieck hätte sich bereits erledigt.
Ich wähle einfach die beiden ersten Richtungsvektoren - ist ja wurscht, welche ich nehme. (8/4/1)x(2/2/-1)=(-6/10/8), was sich zu (-3/5/4) kürzen läßt, denn es geht hier nur um die Richtung und daß es nicht der Nullvektor ist.
Aus dem Kreuzprodukt kann ich eine Ebenengleichung in Koordinatenform bestimmen, die von den beiden Richtungsvektoren aufgespannt wird.
-3x+5y+4z=d.
Den Wert für d bekomme ich, wenn ich einen der beiden Stützpunkte in die Gleichung einsetze, zum Beispiel (-1|3|1), denn da dieser Punkt auf einer der beiden Vektoren liegt, die diese Ebene aufspannen, muß er auch Teil der Ebene sein:
(-3)*(-1)+5*3+4*1=22.
Die Ebene, die von den Richtungsvektoren der beiden ersten Geraden aufgespannt wird, hat also die Koordinatengleichung -3x+5y+4z=22.
Nun prüfst Du, ob auch der Stützpunkt der ersten Geraden diese Ebenengleichung erfüllt, indem Du ihn dort einsetzt (schließlich könnten die beiden Geraden auch windschief zueinander liegen und somit nicht Teil eines Dreiecks werden:
(-3)*(-11)+5*(-3)+4*1=22.
Das paßt.
Die beiden ersten Geraden sind also weder parallel noch antiparallel noch windschief zueinander und könnten durchaus zusammen mit der dritten Geraden ein gemeinsames Dreieck bilden.
Zu prüfen ist zunächst, ob auch der dritte Stützpunkt die Ebenengleichung erfüllt, sonst hätte sich das mit dem Dreieck trotzdem erledigt:
(-3)*9+5*5+4*6=22.
Auch dieser Punkt liegt also in dieser Ebene.
Wenn die dritte Gerade auch darin liegen soll, muß sie von den beiden anderen linear abhängig sein. Das ist sie, wenn das Spatprodukt der drei Richtungsvektoren Null ergibt. Spatprodukt gleich Kreuzprodukt zweier Vektoren mal Vektor 3.
Kreuzprodukt haben wir schon. Nun noch das Skalarprodukt mit dem dritten Vektor bilden: (-3/5/4)·(4/0/3)=-12+0+12=0.
Das sieht gut aus.
Die dritte Gerade liegt auf jeden Fall auch in der Ebene, die von den beiden anderen Geraden aufgespannt wird.
Nun könnte es höchstens noch sein, daß sie parallel oder antiparallel zu einer der beiden Richtungsvektoren der anderen Geraden liegt.
Also noch einmal zwei Kreuzprodukte bilden und prüfen, ob sich nicht irgendwo der Nullvektor ergibt:
(8/4/1)x(4/0/3)
Hier reicht es, wenn Du nur eine Koordinate findest, die ungleich Null ist.
Du rechnest also 4*3-1*0=4 für die erste Koordinate des Kreuzproduktes. Die ist ungleich Null, kann also keinen Nullvektor erzeugen. Die beiden anderen Koordinaten sind uninteressant.
(2/2/-1)x(4/0/3)
Auch hier reicht eine Koordinate, die ungleich Null ist.
2*3-(-1)*0=6.
Das war's.
Die Geraden sind weder parallel noch antiparallel noch windschief und liegen alle drei in der gleichen Ebene. Sie bilden mithin ein Dreieck.
Herzliche Grüße,
Willy
Letzter Fall eines entarteten Dreiecks: die drei Geraden treffen sich in einem Punkt.
Aber im zweiten Aufgabenteil muss man sowieso die Schnittpunkte bestimmen.
Wenn die drei Geraden ein Dreieck bilden, müsste jede Gerade zu den beiden anderen jeweils einen Schnittpunkt haben.