Mathe Dreieck?
Ich komme grade mit meiner Matheaufgabe nicht weiter:
Zeichne drei Geraden, die sich in einem Punkt schneiden und einen Kreis mit beliebigen Radius um den Schnittpunkt. Dies sind die Mittelsenkrechten und der Umkreis eines Dreiecks . Konstruiere das Dreieck.
Ich habe ich keine Ahnung, kann mir irgendjemand ein Tipp geben?
3 Antworten
Hallo,
jetzt habe ich eine Lösung gefunden.
Gegeben sind die roten Geraden und der äußere Kreis. Die Schnittwinkel der Geraden sind genauso groß wie die Innenwinkel des gesuchten Dreiecks. Der markierte Winkel (ca. 60°) muss also auf den Kreis übertragen werden. Im Schnittpunkt F (oder G) der gestrichelten Linie mit dem Kreis zeichne ich daher eine Parallele zur gepunkteten Geraden, die den Kreis im Punkt H schneidet. Von H aus zeichne ich den Durchmesser des Kreises. Der H gegenüber liegende Punkt ist I. Die Strecke FI ist genauso lang wie eine der gesuchten Dreiecksseiten.
Mit Hilfe des kleinen Kreises wird der Punkt J auf den Punkt K gedreht, der der Mittelpunkt der ersten Dreiecksseite ist. Der Rest ist nun relativ einfach.
Meiner Ansicht nach lässt sich das nicht konstruieren. Hat man die drei Geraden und den Kreis konstruiert, muss man weitere drei Geraden AB, BC, CA (rot dargestellt) finden,
- die jeweils senkrecht auf den Ausgangsgeraden stehen
- die sich paarweise auf dem Kreis schneiden
Z.B. die Punkte A und B zu konstruieren, ist noch möglich. Deren Wahl ist zunächst beliebig, führt dann aber eventuell zu keiner Lösung für den Punkt C, da sich die beiden restlichen Senkrechten durch den Punkt B und den Punkt A nicht mehr auf dem Kreis schneiden.
Hallo,
damit die Sache übersichtlicher wird, zeichnest Du statt der drei Geraden, die sich schneiden mit anschließendem Kreis um den Schnittpunkt mit beliebigem Radius zunächst irgendeinen Kreis. In den zeichnest Du dann drei Radien ein. Das sollen die drei Mittelsenkrechten den gesuchten Dreiecks sein, von dem der Kreis der Umkreis ist.
Jetzt kommt der Trick:
Du hast bei drei Radien drei Schnittpunkte der Radien mit dem Kreis. An diese Schnittpunkte legst Du nun Tangenten an, indem Du dort einfach die Senkrechte zum jeweiligen Radius konstruierst.
Das sieht dann so aus:
Die roten Tangenten schneiden sich in den Punkten A', B' und C'. Diese bilden wiederum ein Dreieck, das dem gesuchten Dreieck ähnlich ist (gleiche Winkel, gleiche Seitenverhältnisse.
Nun konstruierst Du zu zwei dieser Dreiecksseiten die Mittelsenkrechten, die sich im Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks A'B'C' schneiden.
Das ergibt dieses: Mittelsenkrechten braun, großer Umkreis rot (eigentlich reicht der Mittelpunkt M', den Kreis habe ich dazugezeichnet, weil's hübsch ist.
Wenn Du jetzt M' mit A', B' und C' verbindest, sind diese Linien Parallelen zu MA, MB und MC.
Diese ziehst Du durch M, und wo sie den grünen Kreis schneiden, liegen A, B und C des gesuchten Dreiecks:
Ich habe MA', MB' und MC' blau eingezeichnet, ebenso die Parallele zu MB', die den grünen Kreis in B schneidet.
Die Punkte A und C findest Du genauso, indem Du die Parallelen zu MA' und MC' durch M ziehst.
Anschließend A, B und C zum gesuchten Dreieck verbinden.
Herzliche Grüße,
Willy
Doch, die Geraden bilden die Mittelsenkrechten des gesuchten Dreiecks. Auf ihnen liegen die Radien des Umkreises.
Hier interessieren natürlich nicht die ganzen Geraden, sondern nur Teile davon, nämlich deren Schnittpunkt und die Radien.
Vielen Dank für diesen Beitrag, aber die urprünglichen drei Geraden sind am Ende nicht mehr die Mittelsenkrechten des resultierenden Dreiecks. So wird es aber in der Aufgabe verlangt.