Wie würdet ihr hier vorgehen in Analysis 1?
Muss (n+1)^k < n^k+1 + n^k beweisen für alle n,k aus den natürlichen zahlen. K ist beliebig und immer fest für alle n. Wollte das mit Induktion beweisen jedoch weiß ich nicht wie ich zu Induktionsvoraussetung zurück komme wenn da (n+2)^k steht, denn ich muss den therm zu (n+1)^k umformen um die Voraussetzung anwenden zu können. Danke im Voraus für eure Zeit und Antworten :D
Meine (n+1)^k kleiner gleich n^k+1 + n^k, weiß nicht wie man das kleiner gleich zeichen macht
also muss beweisen das die Folge n^k/ n! gegen 0 konvergiert. Wollte das monotonie prinzip anwenden in dem ich zeige das die Folge monoton Fallend ist, deswegen muss ich zeigen das an/an+1 größer/gleich 1 ist und bin dann am ende auf (n+1)^k/ n^k+1 + n^k, möchte halt zeigen das es größer gleich 1 ist, weswegen ich die ungleichung beweisen muss
Für n=1, k=1 ist die Aussage falsch
mein kleiner gleich
1 Antwort
Muss (n+1)^k < n^k+1 + n^k beweisen für alle n,k aus den natürlichen zahlen.
Das ist offensichtlich nicht möglich, das zu beweisen, da diese Aussage falsch ist. Wenn man bei...
... beispielsweise die Werte n = 2 und k = 3 einsetzt, erhält man...
Vermutlich meinst du (n + 1)^k < n^(k + 1) + n^k statt „(n+1)^k < n^k+1 + n^k“, also...
[Da brauchst du, wenn du das so in einer Zeile am PC aufschreibst, eine Klammer um „k + 1“, um anzuzeigen, dass das „+ 1“ mit im Exponenten stehen soll.]
Aber auch das ist falsch. Für n = 2 und k = 3 erhält man beispielsweise 27 < 24, was falsch ist.
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Wollte das mit Induktion beweisen jedoch weiß ich nicht wie ich zu Induktionsvoraussetung zurück komme wenn da (n+2)^k steht, denn ich muss den therm zu (n+1)^k umformen um die Voraussetzung anwenden zu können.
Kleine Bemerkung noch nebenbei: Mal abgesehen von der restlichen Rechtschreibung, tut es weh, wenn man Fachbegriffe wie „Term“ (nicht „therm“) falsch geschrieben sieht.
Zu deinem eigentlichen Problem... Deshalb würde ich auch von einer vollständigen Induktion bzgl. n abraten. Was man evtl. versuchen könnte, wäre bei (n + 2)^k mit dem Binomialsatz...
... mit a = n + 1 und b = 1 und m = k zu arbeiten. Aber das habe ich selbst gerade nicht weiter probiert.
Stattdessen würde sieht es so aus, als wäre es da einfacher mit vollständiger Induktion bzgl. k statt mit vollständiger Induktion bzgl. n zu arbeiten.
Aber, da die Aussage sowieso falsch ist, wirst du das ehh nicht zu Ende führen können. Von daher kannst du dir die Mühe sparen, da etwas zu versuchen.
====== Zu deiner Ergänzung ======
Meine (n+1)^k kleiner gleich n^k+1 + n^k, weiß nicht wie man das kleiner gleich zeichen macht
Auch das ist falsch und lässt sich daher nicht beweisen.
====== Zu deiner zweiten Ergänzung ======
also muss beweisen das die Folge n^k/ n! gegen 0 konvergiert. Wollte das monotonie prinzip anwenden in dem ich zeige das die Folge monoton Fallend ist, deswegen muss ich zeigen das an/an+1 größer/gleich 1 ist und bin dann am ende auf (n+1)^k/ n^k+1 + n^k, möchte halt zeigen das es größer gleich 1 ist, weswegen ich die ungleichung beweisen muss
Aha! Die Ungleichung muss dann aber gar nicht für alle natürlichen Zahlen n und k gelten. Da es um den Grenzwert für n gegen unendlich geht, muss die Ungleichung nur für Zahlen n erfüllt sein, die groß genug sind.
Und wenn du gezeigt hast, dass diese Monotonie (ab einem gewissen n) gilt, kannst du damit (und mit der Existenz einer unteren Schranke, wobei man einfach 0 als untere Schranke verwenden kann) erst einmal nur gezeigt, dass die Folge konvergiert. Damit hast du dann aber noch nicht gezeigt, gegen welchen Grenzwert die Folge konvergiert, dass dieser Grenzwert gleich 0 ist.
====== Ergänzung ======
Nein, Das ist keine Potenzreihe. Das ist ja noch nicht einmal eine Reihe, da nirgends eine Summe vorkommt.
Wie man beweist, dass die Folge gegen 0 konvergiert. Was man als Student lernen sollte, womit man häufig weiterkommt... Viele Probleme werden dir nicht als erstes gestellt. Es gab schon viele Mathematiker, die dem gleichen Problem oder ähnlichen Problemen begegnet sind. Und? Konnten diese das Problem lösen? Wenn ja, wie konnten sie das lösen? --> Recherche! Wenn du selbst nicht darauf kommst, wie man es lösen kannst... Recherchiere, ob du etwas findest, woran du dich orientieren kannst. Als Student solltest du recherchieren können. Wenn du nicht recherchieren kannst, dann lerne, wie man recherchiert.
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Beispielsweise findest du hier...
https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_für_Nicht-Freaks:_Grenzwert:_Beispiele
... beweise für...
- z^n/n! --> 0 (für n --> unendlich, wenn z eine reelle Zahl mit |z| > 1 ist)
- n^k/z^n --> 0 (für n --> unendlich, wenn k eine natürliche Zahl und z eine reelle Zahl mit |z| > 1 ist)
Damit kann man dann...
n^k/n! = n^k/z^n * z^n/n! --> 0 * 0 = 0
... erhalten.
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Wenn du es etwas direkter zeigen möchtest, findest du beispielsweise hier einen passenden Ansatz genannt...
https://www.onlinemathe.de/forum/zeigen-sie-dass-lim-n-unendlich-von-nkn-0
Ich weiß nicht wie ich ausdrücken kann wie dankbar ich dir für deine Antwort bin. Ich nehme mir deinen Rat zu Herzen. Die Seite ist perfekt die du mir gesendet hast.
ja ich muss dann halt noch beweisen das 0 der Limes Inferior ist und dann ist laut dem Monotonie Prinzip an Konvergent gegen den Limes Inferior
vielen Dank für die ausführliche Antwort. Ja du hast recht, Rechtschreibung ist nicht so meins. Aber hättest du einige Ansätze wie ich beweisen kann das n^(k)/n! , für alle n,k aus N, beweisen kann das es gegen Null konvergiert? Ist das nicht eine Potenzreihe? Wir hatten bis jetzt noch keine Potenzreihen.