Wie würde man das machen?

Hallo zusammen

ich komm direkt zum Punkt: wie würde man folgende Gleichung nach y umformen: ln(x)=y-ln(y). In einem Online Rechner spuckt er die Lösung ohne Erklärung aus. Aber ich würde gerne auch die Erklärung sehen. Weiß das vielleicht einer?

danke!

Answer 1

[LORDderANALYSE]

Mann kann nach y mit -sehr grob gesagt- 4 Methoden nach y-lösen.

Mit Umkehrfunktionen (siehe z.B. lambertsche W-Funktion), Numerischen Verfahren (siehe z.B. Newton-Verfahren), Lösen der Reihenentwicklung (siehe Reihenentwicklung der EXP-Funktion) oder auch Einschnürung.

Umkehrfunktionen

Nutzen wir die lambertsche W-Funktion W, für welche "W(z) * e^{W(z)} = z" gilt, dann kommen wir auf:

     ln(x) = y - ln(y)           | exp()
exp(ln(x)) = exp(y - ln(y))
exp(ln(x)) = exp(y) / exp(ln(y))
         x = e^{y} / y           | ()^{-1}
     1 / x = y * e^{-y}          | *(-1)
    -1 / x = -y * e^{-y}         | W()
 W(-1 / x) = W(-y * e^{-y})
 W(-1 / x) = -y
        -y = W(-1 / x)           | *(-1)
         y = -W(-1 / x)

Numerischen Verfahren

Nutzen wir z.B. das Newtonverfahren, so erhalten wir:

     ln(x) = y - ln(y)           | exp()
exp(ln(x)) = exp(y - ln(y))
exp(ln(x)) = exp(y) / exp(ln(y))
         x = e^{y} / y | -x
         0 = e^{y} / y - x

$y_{n+1}=y_n-\frac{\frac{e^y}{y}-x}{\frac{d}{dy}\left(\frac{e^y}{y}-x\right)}$

=>

$y=\lim_{n\to\infty}\left(y_{n+1}\right)=\lim_{n\to\infty}\left(y_n-\frac{\frac{e^y}{y}-x}{\frac{d}{dy}\left(\frac{e^y}{y}-x\right)}\right)$ Reihenentwicklung

     ln(x) = y - ln(y)           | exp()
exp(ln(x)) = exp(y - ln(y))
exp(ln(x)) = exp(y) / exp(ln(y))
         x = e^{y} / y

$x=\frac{\sum_{k=0}^{\infty}\frac{y^n}{n!}}{y}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{y^n}{n!\cdot y}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{y^{n-1}}{n!}$

=>

$y=-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k-1}\cdot k^{k-2}\cdot\left(-\frac{1}{x}\right)^k}{\left(k-1\right)!}$

Einschnürung

Bringt ein nicht viel ohne expliziete x-Werte...

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Answer 2

[eterneladam]

Das geht nur mit der Lambertschen W-Funktion,

ln(x)=y - ln(y), Exponential bilden

x = e^y / y, Kehrwert bilden

1/x = y e^(-y), Minuszeichen davor

-1/x = (-y) e^(-y), das heisst

-y = W(-1/x), oder

y = -W(-1/x)