Wie Wahrscheinlichkeit berechnen?
Und zwar geht es um eine Maschine mit 3 unabhängigen Bauteilen welche mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten ausfallen. Wie berechnen ich die Wahrscheinlichkeit das 1 der 3 Elemente (egal welches) ausfällt?
Bei gleicher Wahrscheinlichkeiten wäre das kein Problem. Auch weiß ich wie ich drauf komme das alle ausfallen oder keins ausfällt.
Aber für 1 von 3 fällt aus stehe ich irgendwie auf dem Schlauch.
Danke
3 Antworten
Hier würde es Sinn machen sich mit dem Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit auseinanderzusetzen.
Seien folgende Ereignisse gegeben:
A = Bauteil 1 fällt aus
B = Bauteil 2 fällt aus
C = Bauteil 3 fällt aus
D = Bauteil 1 fällt nicht aus
E = Bauteil 2 fällt nicht aus
F = Bauteil 3 fällt nicht aus
Seien dabei nun die Wahrscheinlichkeiten P(A), P(B), ... , P(F) bekannt.
Berechne nun die Wahrscheinlichkeit von folgendem Ereignis:
G = "Eines der 3 Bauteile fällt aus"
--> G = (A^E^F)U(D^B^F)U(D^E^C)
(wobei " ^ " den Schnitt bezeichnet und " U " die Vereinigung)
Bei den Mengen (A^E^F), (D^B^F), (D^E^C)
handelt es sich um disjunkte Teilmengen.
--> P(G) = P(A^E^F) + P(D^B^F) + P(D^E^C)
Demonstativ berechne ich nun die Wahrscheinlichkeit von (A^E^F):
--> P(A^E^F) = P(A^(E^F)) unter der Vorraussetzung: P(E^F) > 0
--> P(A^(E^F)) = P(A | (E^F))*P(E^F)
Wobei P(A | (E^F)) die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses A bezeichnet unter der Annahme, dass das Ereigniss E^F eingetreten ist (die bedingte Wahrscheinlichkeit).
Mit P(E^F) = P(E | F) * P(F) unter der Vorraussetzung P(F) > 0
Es folgt also damit: (unter gegebenen Vorraussetzungen)
P(A^E^F) = P( A | (E^F)) * P(E | F)* P(F)
Im Falle der stochastischen Unabhängigkeit dieser Ereignisse vereinfacht sich das ganze zu:
P(A^E^F) = P(A)*P(E)*P(F)
(Stochhastische Unabhängigkeit bedeutet in diesem Zusammenhang, dass sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter der Bedingung des Eintretens eines anderen Ereignisses nicht ändert. Zwei Ereignisse A,B sind dabei stochhastisch unabhängig falls gilt: P(A^B) = P(A)*P(B) )
Die Wahrscheinlichkeiten der anderen beiden Mengen (D^B^F) und (D^E^C) berechnen sich dabei nun vollkommen analog.
An dieser Stelle nehme ich die stoch. Unabhängigkeit als gegeben an ("die 3 Bauteile sind voneinander unabhängig (im stoch. Sinne)"):
--> P(G) = P(A)*P(E)*P(F) + P(D)*P(B)*P(F) + P(D)*P(E)*P(C)
Hier noch ein Link zu dem Wikipedia-Artikel zur Bedingten Wahrscheinlichkeit:
Hallo,
die Theorie hat Poseidon bereits erklärt, ich liefere ein praktisches Beispiel:
Maschine A fällt zu 70 % aus, P=0,7, Maschine B zu 60 %=0,6, Maschine C zu 20 %=0,2.
Du bildest zu diesen Ereignissen die Gegenereignisse:
Maschine A fällt nicht aus: (100 %-70 %)=30 %=0,3
Maschine B fällt nicht aus: 40 %=0,4
Maschine C fällt nicht aus: 80 %=0,8
Nun gibt es für das Ereignis: Genau eine Maschine fällt aus, drei Möglichkeiten:
A fällt aus, B und C nicht:
Wahrscheinlichkeit: 0,7*0,4*0,8=0,224
B fällt aus, A und C nicht:
0,6*0,3*0,8=0,144
C fällt aus, A und B nicht:
0,8*0,3*0,4=0,096
Addiert ergibt dies die Gesamtwahrscheinlichkeit dafür, daß genau eine der drei Maschinen ausfällt:
0,224+0,144+0,096=0,464=46,4 %
Jetzt fragst Du Dich vielleicht, wieso die Wahrscheinlichkeit, daß eine von drei Maschinen ausfällt, geringer ist als die Wahrscheinlichkeit, daß A ausfällt oder B, denn A fällt mit 70 % Wahrscheinlichkeit aus, B mit 60 %.
Das liegt daran, daß ja nur die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet wird, daß immer nur eine der drei Maschinen ausfällt. Die Wahrscheinlichkeiten dafür daß A und B, A und C, B und C sowie A, B und C ausfallen, tauchen in dieser Berechnung nicht auf. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß A ausfällt, während die beiden anderen Maschinen weiterlaufen, ist natürlich geringer als die Wahrscheinlichkeit dafür, daß A überhaupt ausfällt.
Besonders krass wird es, wenn A und B mit 100 % Wahrscheinlichkeit ausfallen.
Dann liegt die Wahrscheinlichkeit dafür, daß nur eine Maschine ausfällt, sogar bei 0, weil immer mindestens zwei Maschinen nicht funktionieren.
Herzliche Grüße,
Willy
Ich bin jetzt gerade nicht so fit in mathe aber wie wärs mit arithmetisches Mittel der Wahrscheinlichkeiten?