Wie viele rechtwinklige Dreiecke kann ich aus einer gegebenen Seite c und Höhe hc konstruieren?
Die Aufgabe stammt aus dem Mathematikwettbewerb Hessen von 2023 (ich zitiere): "Es gibt rechtwinklige Dreiecke mit c= |AB|= 7 cm und der H¨ ohe hc = 3 cm."
Aufgabe: Wie viele solcher Dreiecke gibt es insgesamt?
Nach dem Satz des Thales müsste es dafür eigentlich unendlich viele Lösungen geben, oder sehe ich das falsch?
Die vorgegebene Lösung beeinhaltet leider nur eine Aussage, keine Grafik: 4
(α oder β oder γ1 oder γ2 = 90 Grad).
Kann mir jemand erklären, wieso genau 2 Lösungen für Gamma genannt werden? Danke!
5 Antworten
Mit dem Satz des Thales kannst Du die beiden Dreiecke mit gamma1 und gamma2 gleich 90° konstruieren - dabei liegt die Höhe hc innerhalb der Strecke AB (einmal näher zu Punkt A und einmal näher zu Punkt B, so ergeben sich auch unterschiedliche Winkel für alpha und beta und somit 2 verschiedene Dreiecke). [die Höhen kannst Du theoretisch nach oben an den Kreis und nach unten an den Kreis zeichnen, so dass Du vier Rechtecke mit hc=3 cm erhältst, aber zwei davon sind jeweils identisch bzw. nur um 180° gedreht - die Winkel alpha, beta, gamma sind bei zwei Dreiecken jeweils gleich, sodass es sich letztendlich hier nur um 2 verschiedene Dreiecke handelt]
Die anderen beiden Rechtecke erhältst Du, indem Du die Höhe direkt auf A bzw. B zeichest, so liegt der 90°-Winkel bei alpha bzw. beta.
Ich denke, der Punkt C muss auf einer zu c parallelen Gerade im Abstand hc liegen, und zwar dort, wo sie den Thaleskreis schneidet. Das sind 2 Schnittpunkte; wenn man hc und Thaleskreis nach "unten" aufträgt, nochmal 2 Punkte.
Ah. Ich habe gerade keinen Zirkel zur Hand, sodass ich den Thaleskreis nicht konstrueiren konnte. Das mit dem Abstand hc = 3cm macht natürlich Sinn, dass es dann exakt zwei Schnittpunkte gibt, nicht unendlich viele... dankeschön!
Drei bis vier dürften es sein.
Einmal mit c als Kathete, dann ist hc die zweite Seite. Das einmal für hc an der linken und einmal an der rechten Seite.
Und dann noch eines mit c als Hypothenuse, beim Thaleskreis mit Radius hc so, dass der Punkt senkrecht über der Halbierenden von c steht. Und da evtl. auch noch einmal den gespiegelten Fall.
Nach dem Satz des Thales müsste es dafür eigentlich unendlich viele Lösungen geben, oder sehe ich das falsch?
Das siehst Du falsch. Das "warum" erklärt vielleicht diese Konstruktion:
es gibt folgende Möglichkeiten:
alpha = 90° (1 Möglichkeit)
beta = 90° (1 Möglichkeit)
gama = 90° (2 Möglichkeiten, außer alpha = beta = 45°, dann nur eine)