Wie löse ich die Aufgabe a und b?
3 Antworten
hier handelt es sich um exponentielles Wachstum. Finde eine Funktion k(t), die die Konzenztation k in Abhängigkeit von t (in Stunden) beschreibt. Hinweis:
k(t) = a^t
Nach einer halben Stunde hast Du
0,9 0 a^(1/2)
Damit kannst Du a berechnen. Jetzt hast Du eine Formel, diie das exponentielle Wachstum beschreibt. Dies nutzt Du, um die Aufgaben a) und b) zu lösen.
Hier geht es um exponentielles Wachstum (exponentielle Abnahme), d. h. Du benötigst eine Exponentialfunktion.
Diese sieht allgemein so aus: f(t)=a * q^(kt).
Das a ist der Anfangswert (bei t=0), das q ist der Wachstumsfaktor, das t die Zeit und das k ist ein Parameter, der die "Aktivierung" des Wachstums steuert, d. h. das k muss so gewählt werden, dass zu dem Zeitpunkt, an dem das erste Mal die vorgegebene Änderung eintritt, der Exponent den Wert 1 ergibt.
Hier ist kein konkreter Startwert gegeben, d. h. Du setzt allgemein a=100 %=1 an. Der Startwert soll nach bestimmter Zeit (hier halbstündlich) um 10 % abnehmen, d. h. nach einer halben Stunde sind nur noch 90 %=0,9 vom Startwert vorhanden, also q=0,9. Das t steht hier sinnvollerweise für "Stunden". Und da nach einer halben Stunde der Startwert auf 90 % sinkt, muss für das k der Wert 2 gewählt werden, denn k*t, also hier k*0,5 muss ja wie zuvor erwähnt den Wert 1 ergeben.
Also lautet hier Deine Exponentialfunktion:
f(t)=1*0,9^(2t)=0,9^(2t)
Bei a) ist gefragt, wann vom Startwert nur noch die Hälfte vorhanden ist, also nach f(t)=0,5:
0,9^(2t)=0,5 |ln anwenden
ln(0,9^(2t))=ln(0,5) |Regel: ln(a^b)=b*ln(a)
2t*ln(0,9)=ln(0,5) |:(2*ln(0,9))
t=ln(0,5)/(2*ln(0,9))=...
b) hier ist nach f(t)<0,001 gefragt; dabei darauf achten, dass wenn ln(x) negativ ist für x<1, d. h. dann musst das Ungleichheitszeichen "drehen"!
t in Stunden
eine Abnahme um 10% ist ein Wachstumsfaktor von 0,9
der Wachstumsfaktor kann auch umgerechnet werden
a) f(t)=1/2 f(0)
b) f(t)=0,1/100 f(0)
f(t) jeweils durch den Ausdruck ersetzen, dann kann f(0) gekürzt werden. Die Zeit ist also nicht von der Ausgangsmenge abhängig