Wie leitet man Wurzeln ab?

Bspw: die Rechnung im Anhang. Das ist weder Hausaufgabe noch erwarte ich dass man sie löst. Sie dient als
Beispiel da ich generell nicht weiß wie man vorgeht.

Answer 1

[SlowPhil]

Die n. Wurzel aus einem Argument α - das kann x sein, muss es aber nicht, auch komplexere Ausdrücke sind möglich - lässt sich als

β := α^{1/n}

schreiben, da es ja das Potenzgesetz

(b^{ξ₁})^{ξ₂} = b^{ξ₁ ⋅ξ₂}

('b' für 'Basis,' ξ' für 'Exponent') gibt, wonach eben

βⁿ = (α^{1/n})ⁿ = α^{n⋅(1/n)} = α^{1} = α

ist. Im Definitionsbereich (außer am Rand) greift hier tatsächlich die Ableitungsregel für Potenzfunktionen, d.h.

β'(α) = (1/n)⋅α^{1/n – 1} = (1/n)⋅α^{–(n–1)/n}

und, wenn β(x) abgeleitet werden soll,

β'(x) = (α'(x)/n)⋅α^{–(n–1)/n}

(Kettenregel), beispielsweise

f(x) = 1/√{1 – x²}, x<1
f'(x) = –2x/√{1 – x²}³

(ein Beispiel aus der Relativitätstheorie, wobei x für (v/c) steht).

In Deinem Beispiel ist die erste Antwort richtig, denn

4/√{x} = 4⋅x^{–½}

ergibt abgeleitet

4⋅(–½)⋅x^{–(3/2)} = 2⋅x^{–(3/2)}.

Comments

[SlowPhil]

Ein Potenzgesetz lautet, wie gesagt,

(b^{ξ₁})^{ξ₂} = b^{ξ₁ ⋅ξ₂},

ein anderes, das auch viel auftritt,

b^{ξ₁}·b^{ξ₂} = b^{ξ₁ + ξ₂}.

Damit ist dann auch

b^{ξ₁}/b^{ξ₂} = b^{ξ₁ – ξ₂}.

[02567]

Ich habe in den Antworten ein Foto meines Rechnungsweges gepostet. Kannst du dir das mal anschauen?

[SlowPhil]

@02567

Das habe ich getan. Die Lösung ist falsch, denn an einer Stelle multiplizierst Du einfach die rechte Seite mit x^{–½}, und dadurch hast Du sie verändert.

Deshalb ergibt die Ableitung nicht mehr dasselbe.

Answer 2

[HEWKLDOe]

Hallo 02567

Schreib die Wurzeln in Potenzform um:  f(x) = x^(2/3) + 4*x^(-1/2). Dann leitest du nach der Formel    d(x^n)/dx = n*x^(n-1)    ab:
f'(x) = (2/3)x^(2/3 -1) + 4*(-1/2)x^(-1/2 -1) = (2/3)x^(-1/3) - 2x^(-3/2) =
       = (2/3)/x^(1/3) -2/x^(3/2);
Die erste Antwortmöglichkeit ist also richtig. Die gewohnte Schreibweise für "dritte Wurzel aus" und "Quadratwurzel aus x³ " ist hier leider nicht möglich.

Dein Rechnungsweg ist ab der 3. Zeile falsch. Wenn du 1/x^(1/2) ausklammern willst, dann muss es als Faktor vor einer Klammer stehen und nicht einfach so beim zweiten Term (4) verschwinden. Dadurch würde aber das Ableiten keineswegs erleichtert.

Es grüßt HEWKLDOe.

Answer 3

[FelixFoxx]

sqrt(x)=x^(1/2)

3. Wurzel(x²)+4/sqrt(x)=x^(2/3)+4 * x^(-1/2)

Dies lässt sich leicht ableiten

f'(x)=2/3 * x^(-1/3)+4 * (-1/2) * x^(-3/2)

=2/(3 * 3. Wurzel(x)) -2/sqrt(x³)

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[02567]

Ich habe in den Antworten ein Foto meines Rechnungsweges gepostet. Kannst du dir das mal anschauen?

Answer 4

[MarkusGenervt]

Form doch mal die Wurzel in einen normalen Exponenten um.

³√(x²) = x^(⅔)
(sorry geht gerade nicht besser zu schreiben)

Comments

[02567]

Ich habe in den Antworten ein Foto meines Rechnungsweges gepostet. Kannst du dir das mal anschauen?

[MarkusGenervt]

@02567

OI WEI !!! ๏̯͡๏  Das ist ja schon wieder Murks & Mulle!

Seit wann werden Exponenten so summiert? Wie kommst Du auf den 3. Rechnungsschritt?

Mal ganz abgesehen davon:

Wenn:   1/x² = x⁻²   v   √x = x^(½)

Dann:   4/√x = 4x^(-½)

Also nochmal im Detail:

f(x) = x^(⅔) + 4 · x^(-½)

f’(x) = ⅔ · x^(⅔ - 1) + 4 · (-½) · x^(-½ - 1)
 = ⅔ · x^(-⅓) – 2 · x^(-³/₂)

Ist Dir jetzt die Lösung klar?

[02567]

Stimmt, danke!