Wie lässt sich [A, e^B] = e^B[A, B] zeigen, wobei es sich um den Kommutator handelt?

zur Info: [A,B] = A B − B A und folgendes soll angenommen werden:  [[A, B], B] = 0

Answer 1

[Reggid]

[A,B^n] = AB^n - B^nA = [A,B]B^(n-1) + BAB^(n-1) - B^nA = B^(n-1)[A,B] + B[A,B^(n-1)]

dann iterativ einsetzen und du bekommst n*B^(n-1)[A,B] für n>0, ansonsten 0

dann für e^B = sum(0,inf) B^n/n!

und somit sum(1,inf) B^(n-1)/(n-1)! [A,B]

beachte dass die summe bei 1 beginnt, da der term für n=0 weggefallen ist da [A,B^0]=[A,1]=0

somit kannst du die summe verschieben (n-1)-->n und damit

sum(0,inf)B^n/n! [A,B] = e^B [A,B]

Woher ich das weiß: Berufserfahrung – Physiker (Teilchenphysik)

Comments

[Reggid]

Danke für die Hilfe, wie hast du in die Summe, die Info n*B^(n-1)[A,B] eingebaut?

[Reggid]

@Inkognito-Fragesteller

die summe und das n! stellst du vor den kommutator. dann musst du für den kommutator nur das vorher berechnete einsetzen.