Wie kommt man auf den Integrallogarithmus?

3 Antworten

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Immer dann, wenn Funktionen häufig gebraucht werden, es aber keine kurze explizite Funktion aus anderen bekannten Funktionen gibt, wird von den Menschen gern ein neuer Eigenname verwendet.

Unter http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/LogIntegral/

findet man, dass zu li(x) bereits genau dieses Integral die 

"Primärdefinition" ist - also keine "Herleitung"!

Natürlich gibt es zig andere mögliche Umformungen:

li(x)=Ei(log(x))

mit Ei(x)=ExpIntegralEi(x)

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/ExpIntegralEi/26/01/01/0001/

ExpIntegralEi[z] = z*hyg2F2[{1, 1}, {2, 2}, z] + (1/2) (Log[z] - Log[1/z]) + EulerGamma
also auch nur eine hypergeometrische Funktion, denn laut

http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php

ist log(x)= (x-1)*hyg2F1(1,1,2,1-x)

Diese lange Formel wäre einfach zu lang -> also neuer Eigenname.

Es gibt nur sehr wenige Funktionen, die sich nicht aus hypergeometrischen Funktionen aufschreiben lassen -> alles nur eine Frage der Parameter und Länge.

Hypergeometrische Funktionen lassen sich oft schneller berechnen, als "normale" Summen. Bei Ei konvergiert hingegen eine bekannte Summe recht schnell:

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/ExpIntegralEi/02/

Dann gibt es zig weitere Funktionen wie

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/LogIntegral/27/01/0004/

...

Integral(1/ln(x)*dx=ln(ln(x))+ln(x)*(ln(x))^2/(2*2!)+(ln(x))^3/(3*3!)......

ln(ln(x)) hier ist (ln(x)) der Betrag

wie die Herleitung ist,weiss ich nicht

Formel hab ich aus den Mathe-Formelbuch

Also ist ln(ln(x)) bei dir das gleiche wie ln(|x|)?

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@JTR666

da steht ln (a) mit a=ln(x) hier muss a als betrag genommen werden.

Beispiel : x=5 ergibt a=ln(5)1,609 ergibt

ln(a)=ln(1,609)=0,47...

nun mit x=o,5 ergibt ln(0,5)=-0,693.. "negativ"

hier muss der betrag genommen werden also a=0,693

ergibt ln(0,693)=-0,3665..

HINWEIS: ln(-0,693) negativ ergibt "Error" eine negative Zahl ist nicht beim Logarithmus deffiniert

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lim_a gegen unendlich ( ( ln(a+1) - ln(1) ) - (ln(a+2) - ln(2)) )

= lim_a gegen unendlich ( ln(a+1) - (ln(a+2) - ln(2)) )

= lim_a gegen unendlich ( ln(a+1) - ln(a+2) + ln(2) )

Nun ist der natürliche Logarithmus so definiert, dass es für einen immer größer werdenden Ausdruck gegen unendlich geht, was ja bei ln(a+1) und ln(a+2) der Fall ist. Daher wäre ich insgesamt auf unendlich gekommen, aber der Integralrechner spuckt ln(2) raus...

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= lim_a gegen unendlich ( ln((a+1)/(a+2)) + ln(2) )

Aber da komme ich auch nicht voran.

Danke imvoraus!

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