Wie kann man diese Aufgabe lösen? Mathearbeit
Ich lerne gerade Mathe und weiß nicht wie ich diese Aufgabe lösen soll. Vielleicht kann mir das hier jemand erklären. Das ist die Aufgabe:Gib den Funktionsterm einer quadratischen Funktion an, deren kleinster Funktionswert -9 ist und deren Nullstellen bei -1 und +2 liegen.
4 Antworten
Das machst du mit der Nullstellenform
f ( x ) = a * ( x - x1 ) * ( x - x2 )
In diese kannst du Nullstellen x1 = -1 und x2 = 2 direkt einsetzen und erhältst:
f ( x ) = a * ( x - ( - 1 ) ) * ( x - 2 )
= a * ( x + 1 ) * ( x - 2 )
Nun muss och der Streckfaktor a bestimmt werden.
Dazu folgende Überlegung:
Ihren kleinsten Funktionswert nimmt eine quadratische Funktion an der Stelle x an, an der ihr Scheitelpunkt liegt. Die x-Koordinate des Scheitelpunktes einer quadratischen Funktion liegt jedoch immer genau in der Mitte zwischen den Nullstellen, also ist die x-Koordinate xs des Scheitelpunktes im vorliegenden Falle
xs = ( x1 + x2 ) / 2 = ( - 1 + 2 ) / 2 = 0,5
und für seine y-Koordinate gitl gamäß Aufgabenstellung:
ys = - 9
Daher muss gelten:
ys = a * ( xs + 1 ) * ( xs - 2 )
eingesetzt:
- 9 = a * ( 0,5 + 1 ) * ( 0,5 - 2 )
<=> - 9 = a * 1,5 * ( - 1,5 )
<=> - 9 = a * (- 2,25 )
<=> 9 / 2,25 = a
<=> a = 4
Somit lautet die Gleichung der gesuchten Funktion:
f ( x ) = 4 * ( x + 1 ) * ( x - 2 )
bzw. ausmultipliziert:
f ( x ) = 4 * x ² - 4 x - 8
Das Minimum ist in der Mitte zwischen den Nullstellen, also bei (-1+2)/2 = 1/2. Damit lautet die Funktionsgleichung f(x) = a * (x-1/2)^2-9.
Wegen 0 = a * (2-1/2)^2-9 ist 9 = a * 2,25, also a=4.
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Viel Spaß beim Ausprobieren ;-)
???? Frag doch lieber eine Klassenkameradin! Wie weiss besser über die Situation bescheid ;D