Wie kann man diese Aufgabe lösen? Mathearbeit

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Das machst du mit der Nullstellenform

f ( x )  = a * ( x - x1 ) * ( x - x2 )

 

In diese kannst du Nullstellen x1 = -1 und x2 = 2 direkt einsetzen und erhältst:

f ( x ) = a * ( x - ( - 1 ) ) * ( x - 2 ) 

= a * ( x + 1 ) * ( x - 2 )

 

Nun muss och der Streckfaktor a bestimmt werden.

Dazu folgende Überlegung:

Ihren kleinsten Funktionswert nimmt eine quadratische Funktion an der Stelle x an, an der ihr Scheitelpunkt liegt. Die x-Koordinate des Scheitelpunktes einer quadratischen Funktion liegt jedoch immer genau in der Mitte zwischen den Nullstellen, also ist die x-Koordinate xs des Scheitelpunktes im vorliegenden Falle

xs = ( x1 + x2 ) / 2 = ( - 1 + 2  ) / 2  = 0,5

und für seine y-Koordinate gitl gamäß Aufgabenstellung:

ys = - 9

 

Daher muss gelten:

ys = a * ( xs + 1 ) * ( xs - 2 ) 

eingesetzt:

- 9 = a * ( 0,5 + 1 )  * ( 0,5 - 2 )

<=> - 9 = a * 1,5 * ( - 1,5 )

<=> - 9 = a * (- 2,25 )

<=> 9 / 2,25 = a

<=> a = 4

 

Somit lautet die Gleichung der gesuchten Funktion:

f ( x ) = 4 * ( x + 1 ) * ( x - 2 )

bzw. ausmultipliziert:

f ( x ) = 4 * x ² - 4 x - 8

Das Minimum ist in der Mitte zwischen den Nullstellen, also bei (-1+2)/2 = 1/2. Damit lautet die Funktionsgleichung f(x) = a * (x-1/2)^2-9. 

Wegen 0 = a * (2-1/2)^2-9 ist 9 = a * 2,25, also a=4. 

 

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