Wie kann ich die Aufgabe zu der speziellen Relativitätstheorie lösen?

Answer 1

[Wechselfreund]

E ges = m(d)c² = m(0)c² + e·U

wobei m(d) = m(0)/sqr(1-v²/c²)

Answer 2

[ProfessorZ]

Es gilt u.a. folgende Formel für die Geschwindigkeit eines Elektrons e:

$v_e=\sqrt{\frac{2\cdot U_B\cdot e}{m_e}}$

Die Herleitung der Formel ergibt sich aus Gründen der Energie-Erhaltung:

$E_{el}=E_{kin}$ $e\cdot U_B=\frac{1}{2}\cdot m_e\cdot v^2$

Multiplikation mit 2 und Teilung durch die Masse führen zu:

$v^2=\frac{2\cdot U_B\cdot e}{m_e}$

Und durch das Ziehen der Wurzel gelangen wir zur oben genannten Formel.

Wichtig ist dabei, dass relativistisch gerechnet wird. Die Masse des Elektrons m ergibt sich dabei aus der von dir schon notierten Formel:

$m=\frac{m_o}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Ich hoffe, dass dir das weiterhilft und wir uns eine Vorrechnung ersparen können.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Comments

[Wechselfreund]

Die erste Formel gilt nicht für relativistische Berechnungen!

[ProfessorZ]

@Wechselfreund

Ja, das stimmt, mein Fehler.

[Godisdead]

@ProfessorZ

Der allgemeine Ansatz, den Sie vorstellt klappt gar nicht, da man die Ruheenergie des Elektrons nicht mit einbezieht. Sie muss jedoch einbezogen werden. Ihr ansatz würde zu dem Ergebniss führen das V=1 *c ist was natürlich nicht geht.

[ProfessorZ]

@Godisdead

Moment, da kommt noch was.

Answer 3

[ProfessorZ]

Okay, die Kritik mit der relativistischen Geschwindigkeit war berechtigt.

Für die kinetische Energie gilt:

$E_{kin}=m_r\cdot c^2-m_e\cdot c^2$

Aus Gründen der Energie-Erhaltung wird dies mit der verrichteten Arbeit des elektrischen Feldes gleichgesetzt:

$E_{el}=E_{kin}$

Wobei:

$E_{el}=e\cdot U_B$

$e\cdot U_B=m_r\cdot c^2-m_e\cdot c^2$

Außerdem gilt:

$m_r=\gamma\cdot m_e$

Die relativistische Masse mr ist mit der Ruhemasse des Elektrons me über den Lorentzfaktor (Gamma) verknüpft.

Daraus folgt letztlich:

$m_r=\frac{m_e}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Durch das Einsetzen in die obere Gleichung folgt:

$e\cdot U_B=\frac{m_e}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\cdot c^2-m_e\cdot c^2$

Ausklammern von und teilen durch den Ausdruck me * c² führt zu:

$\frac{U_B\cdot e}{m_e\cdot c^2}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1$

Addition mit 1 und das Quadrieren auf beiden Seiten führt dann zu:

$\left(1+\frac{e\cdot U_B}{m_e\cdot c^2}\right)^{^2}=\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}$

Wir bilden nun die Kehrwerte und multiplizieren mit (-1) und addieren eine 1, dann:

$\frac{v^2}{c^2}=1-\frac{1}{\left(1+\frac{e\cdot U_B}{m_e\cdot c^2}\right)^{^2}}$

Multiplikation mit c² und das Wurzelziehen führen dann endlich zu unserer relativistischen Geschwindigkeit vr:

$v_r=c\cdot\sqrt{1-\frac{1}{\left(1+\frac{e\cdot U_B}{m_e\cdot c^2}\right)^{^2}}}$

Falls ich bei der Umformung irgendwo einen Fehler habe, bitte Aufmerksam machen, ist schon spät.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung