unterschied kontra und kovarianz

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4 Antworten

Unabhängig von der Relativitätstheorie kannst du immer davon ausgehen, dass der Präfix ko bzw. kon "mit" bedeutet und kontra "gegen", wobei ja auch das Invers eines Elements so zu sagen sein Gegenstück ist.

Volens 09.03.2014, 08:52

Neben ko, kon, kontra findest du oft auch die alten (noch lateinischeren Formen
*co, con, contra".

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Die Ko- bzw. Kontravraianz bezieht sich auf die Stellungen der Indizes in der Physik. Grundsätzlich geht es darum, dass n-Formen n-fach ein kovariantes Transformationsverhalten haben. n-Felder hingegen (1-Feld = Vektorfelder) ein kontravriantes Transformationsverhalten.

X = X^u\partial_u, wobei \partial_u die Basis-vektoren an dem betrachteten Punkt der Raumzeit sind. Für n-Formen, \omega = \omega_u dx^u bedeutet das, dass eine n-Form (n-fach kontravriant) mit genau n-fach kovariant kontrahiert werden muss, um einen (0,0)-Tensor (Skalar) herauszubekommen.

Der Unterschied liegt nun darin, dass beim Wechsel in ein anderes Kartensystem, d.h., eine Koordinatentranformation, die Transformationsmatrix \Lambda(x->y) := \dfrac{partial\left\lbrace y\right\rbrace}{\partial\left\lbrace x \right\rbrace} entsprechend so im transformierten Term auftritt, dass der Tensor im neuen Koordinatensystem strukturell invariant bleibt, s. PhotonX'-Beitrag.

D.h.,

\omega(x)=\omega_u(x)dx^u = \omega(x(y))= \omega_u(x(y))\Lambda(x->y)^u_vdy^u = \omega(y),

unter Ausnutzung der Multidimensionalen Kettenregel in lokaln Koordinatensystem.

Analog:

X(x)=X^u\partial_u(x) = X(x(y))=X^u(x(y))\Lambda(x->y)^{-1}_u^v\partial_v(y),

analog zu oben. Ich habe hier unterstellt, dass ein TensorFELD betrachtet wird, d.h., dass ich davon ausgehen kann, dass die Reihenstellung der ko- und kontravarianten Indizes egal ist. In ganz generischen Fall kann das durchaus einen Unterschied ausmachen... (s. Jänich, Vektoranalysis, letztes Kapitel).

VG, dongodongo.

Volens 09.03.2014, 09:46

Wow!

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stekum 09.03.2014, 10:37
@Volens

Genau dieser Wow-Effekt war bezweckt.

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mareckishet8 09.03.2014, 19:50
@stekum

ka ob gutefrage nen formeleditor hat aber bei mir funktionierts dann wohl nicht :D, p.s. mir ist immer noch nicht ganz klar wie ich festmache ob etwas ko oder kontravariant ist, bzw wo dann effektiv der physikalische unterschied ist, sie transformieren anders, ja aber wie anders, und was bewirkt das.

gruß

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dongodongo 10.07.2014, 18:23
@stekum

Nein, bezweckt war, herauszustellen, dass kontravariant und kovariant in der Notation anders festgehalten werden, und sich nach Definition der entsprechenden ko-/kontravarianten Objekte eben andere Folgerungen für den Kalkül ergeben.

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Kovariant: (a°, - a^1, - a², - a³), kontravariant: (a°, a^1, a², a³)

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