Wie gebe ich das bei WolframAlpha ein?

Hey Leute!

Also Folgendes: Ich möchte gerne diesen Ausdruck https://www.zahlen-kern.de/editor/equations/es7h.png bei WolframAlpha eingeben.

Nun ist meine Frage: Wie kann ich das am besten machen? Denn Wenn ich ´prod(integ(sin(x)^k)dx) x = 0 to Pi k = 0 to n´ eingebe, missinterpretiert der das sofort.

Also was muss ich WA sagen?

Danke schon mal für die Antworten! :) JTR

2 Antworten

hypergerd

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik

20.08.2017, 13:17

Hier gibt es Polstellen an den Integrationsgrenzen, die nicht so einfach sind!

integral sin^k(x) dx = -cos(x) sin^(k + 1)(x) sin^2(x)^(-k/2 - 1/2) 2F1(1/2, (1 - k)/2, 3/2, cos^2(x)) + constant

{2F1 = hypergeometrische Funktion }
= -cos(x)*sin(x)^(k + 1)*sin^2(x)^(-k/2 - 1/2)*2F1(1/2, (1 - k)/2, 3/2, cos(x)²)
= -cos(x)*sin(x)^(k + 1)*abs(sin(x))^(-k - 1)*2F1(1/2, (1 - k)/2, 3/2, cos(x)²)

besser das sin^2(x) mit abs & sgn:
=cos(x)*csc(x)^k*sgn(sin(x))*(-abs(sin(x))^k)*2F1(1/2,(1-k)/2,3/2,cos(x)²)

nun mit Grenzwert x gegen Pi von "links":

lim cos(x)*csc(x)^k*sgn(sin(x))*(-abs(sin(x))^k)*2F1(1/2,(1-k)/2,3/2,cos(x)²),x->Pi^-

aber den Teil "left" also Pi^- :

(sqrt(Pi)*Gamma((k + 1)/2))/(2*Gamma(k/2 + 1))
Grenzwert mit x gegen 0 von rechts:
-(sqrt(Pi) Gamma((k + 1)/2))/(2 Gamma(k/2 + 1))
zusammen:
(sqrt(Pi)*Gamma((k + 1)/2))/(2*Gamma(k/2 + 1))+(sqrt(Pi) Gamma((k + 1)/2))/(2 Gamma(k/2 + 1))
=(sqrt(Pi)*Gamma((k + 1)/2))/(Gamma(k/2 + 1))
nun Produkt:
prod (sqrt(Pi)*Gamma((k + 1)/2))/(Gamma(k/2 + 1)),k=1...n
leider kein universelles Ergebnis in expliziter Formelschreibweise, aber
bei n=4 kommt auch Pi²/2 raus wie bei sagemath.org

Doch:

Ergebnis:

Pi^(n/2)/(Gamma(n/2 + 1))

fertig!

hypergerd

20.08.2017, 14:45

Interessante Analogie zu

https://www.gutefrage.net/frage/integration-von-sinnx?foundIn=list-answers-by-user#answer-252395517

Wo habt Ihr dieses Integral her? Praktischer Anwendungsfall?

mihisu

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik, rechnen

19.08.2017, 15:52

Statt ´prod(integ(sin(x)^k)dx) x = 0 to Pi k = 0 to n´ solltest du

Product[Integrate[sin(x)^k, {x, 0, Pi}], {k, 1, n}]

eingeben.

Das wird dann von WolframAlpha richtig interpretiert. Eine andere Frage wäre, ob WolframAlpha zu einem "schönen" Ergebnis kommt.

JTR666

Fragesteller

19.08.2017, 16:00

Also zumindest braucht er immer zu lange für die Berechnungszeit eines Freeusers... Und ich hab für n einfach mal 4 eingegeben, damit WA nicht versucht, eine allgemeine Formel für alle Sinus bis n zu finden.

mihisu

19.08.2017, 16:13

@JTR666

Da kann ich leider auch nicht weiterhelfen.

Wenn es nicht WolframAlpha sein muss, kannst du für konkrete n-Werte dir auch die Zahlen mit SageMath berechnen lassen. Beispielweise hier:

http://sagecell.sagemath.org/

Für n=4 erhält man beispielsweise durch Eingabe von

n=4
prod(integral(sin(x)^k, x, 0, pi) for k in (1..n))

das Ergebnis

1/2*pi^2

geliefert.

Also wie gebe ich bspw. den Ausdruck

2Π(4i²/(4i²-1))

in Wolframalpha ein, sodass er auch korrekt interpretiert wird?

Danke schon mal für die Antworten! :-)

JTR

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Es soll als Ergebnis die gefittete Funktion u(x) herauskommen:

import sympy as sym

def functionFit(f, funcset, interval):
  N = len(funcset) - 1
  A = sym.zeros(N + 1, N + 1)
  b = sym.zeros(N + 1, 1)
  x = sym.Symbol('x')

  for i in range(N + 1):
    for j in range(i, N + 1):
      A[i, j] = sym.integrate(
        funcset[i] * funcset[j],
        (x, interval[0], interval[1]))
      A[j, i] = A[i, j]

    b[i, 0] = sym.integrate(funcset[i] * f, (x, interval[0], interval[1]))

  c = A.LUsolve(b)
  u = 0

  for i in range(len(funcset)):
    u += c[i, 0] * funcset[i]

  return u, c

x = sym.Symbol('x')
f = 10 * sym.cos(x) + 3 * sym.sin(x)
fooset = (sym.sin(x), sym.cos(x))
interval = (1, 2)

print("function to approximate:", f)
print("Basic functions:")

for foo in fooset:
  print(" - ", foo)

u,c = functionFit(f, fooset, interval)

print()
print("simplified u:")
print(sym.simplify(u))
print()
print("simplified c:")
print(sym.simplify(c))

Wenn ich dieses simple Beispiel laufen lasse, erhalte ich:

function to approximate: 10 * cos(x)
Basic functions:
  - sin(x)
  - cos(x)
simplified u: 10 * cos(x)

simplified c:
Matrix([[0], [10]])

womit ich zufrieden bin.

Setze ich aber

f = 10sym.cos(x) + 3sym.cos(x)

dann erhalte ich:

function to approximate: 3sin(x) + 10cos(x)
Basic functions:
 - sin(x)
 - cos(x)
simplified u: (12sin(2)2sin(4)sin(x) + 3sin(8)sin(x) + 12sin(2)sin(x) + 40sin(2)*2sin(4)cos(x) + 10sin(8)cos(x) + 40sin(2)cos(x))/(2(sin(4) + 2*sin(2)))

simplified c:
Matrix([[3], [10]])

Der Ausdruck für u ist natürlich richtig, aber wieso schafft es SymPy nicht, den Ausdruck auf

zu vereinfachen?

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Sprich 1-4 fliegt raus, 5-9 bleibt drin, 10-13 ist raus usw.

Nun habe ich nach reichlicher Überlegung das Folgende gebastelt:

Select[
 Total[ (*Addiert die Ziffern auf*)
  IntegerDigits[ (*trennt die Zahlen in Ziffern auf*)
   Range[100]], (*erzeugt die Zahlen bis 100*) 
  {2}], 
 GreaterThan[4]] (*Auswahlbedingung >=5*)

Damit wird nun eine Liste der Quersummen ausgegeben, die 5 oder größer sind. Damit bin ich aber noch nicht am Ziel.

Frage: Beim Aufaddieren der Ziffern wird keine andere Zahl als 2 zugelassen, die Hilfe gibt dazu nur ein Beispiel an. Ist es korrekt, dass diese für das Lesen zeilenweise nötig ist?
Frage: Wie setze ich diesen Vektor nun ein, um ihn als Bedingung zum Anzeigen der Zahl zu verwenden?

In anderer Sprache würde ich den Zahlenvektor mit einem Vektor aller Quersummen hochzählen und letzteren ständig auf die Größe prüfen. Ist diese zu klein, würde ich die entsprechende Zahl aus dem Zahlenvektor streichen.
Bei Mathematica muss ich in diesem Fall wohl ein "Nothing" enschieben, so viel habe ich herausgefunden. Nur wie ich einen solchen Vergleich implementiere, habe ich noch nicht begriffen.

Danke für eure Hilfe im Voraus!

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